【Learning】min-max容斥以及推广

min-max容斥

给定集合S$S$，设max(S)$max(S)$为S$S$中的最大值，min(S)$min(S)$为S$S$中的最小值，则我们有一个式子：

max(S)=∑T⊆S(−1)|T|−1min(T)$$max(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}min(T)$$

这个东西就叫做min-max容斥。
怎么证明？
我们考虑构造一个容斥系数f(x)$f(x)$，使得

max(S)=∑T⊆Sf(|T|)min(T)$$max(S)=\sum _{T\subseteq S}f(|T|)min(T)$$

考虑第x+1$x+1$大的元素会被统计到的贡献。
则这个贡献为∑xi=0Cix×f(i+1)$\sum _{i=0}^x{C}_x^i\times f(i+1)$
简单来说，就是枚举有哪些集合的最小值会为第x+1$x+1$大的元素。
则

[x==0]=∑i=0xCix×f(i+1)$$[x==0]=\sum _{i=0}^x{C}_x^i\times f(i+1)$$

二项式反演一下

f(x+1)=∑i=0x(−1)x−iCix[i==0]$$f(x+1)=\sum _{i=0}^x(-1{)}^{x-i}{C}_x^i[i==0]$$

得到

f(x+1)=(−1)x$$f(x+1)=(-1{)}^x$$

因此

f(x)=(−1)x−1$$f(x)=(-1{)}^{x-1}$$

综上，

max(S)=∑T⊆Sf(|T|)min(T)=∑T⊆S(−1)|T|−1min(T)$$\begin{gathered} max(S)=\sum _{T\subseteq S}f(|T|)min(T) \\ =\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}min(T) \end{gathered}$$

证明完毕。
下面我们来看几道例题。
由于min-max容斥对于期望同样满足，所以可以很方便地解决一些概率和期望问题。

hdu4336 Card Collector

有n种卡片，每一秒都有Pi$P_i$的概率获得一张第i$i$种卡片，求每张卡片都至少有一张的期望时间。
我们记max(S)$max(S)$为S$S$中最后获得的那种卡片第一次获得的期望时间，min(S)$min(S)$为S$S$中的第一个获得的那种卡片第一次获得的期望时间。
仍然满足

max(S)=∑T⊆S(−1)|T|−1min(T)$$max(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}min(T)$$

而

min(T)=1∑i∈TPi$$min(T)=\frac{1}{\sum _{i\in T}{P}_i}$$

直接计算即可。
代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=25;
const double eps=1e-7;
double a[N],ans;
int n;
void dfs(int now,int tot,double sum){
    if(now>n){
        if(sum>eps){
            if(tot&1){
                ans+=1/sum;
            }else{
                ans-=1/sum;
            }
        }
        return;
    }
    dfs(now+1,tot,sum);
    dfs(now+1,tot+1,sum+a[now]);
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lf",&a[i]);
        }
        ans=0;
        dfs(1,0,0);
        printf("%lf
",ans);
    }
    return 0;
}

bzoj4036 按位或

我们记max(S)$max(S)$为S$S$中最后被或到的元素第一次被或到的期望时间，min(S)$min(S)$为S$S$中的第一个被或到的元素第一次被或到的期望时间。

max(S)=∑T⊆S(−1)|T|−1min(T)$$max(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}min(T)$$

而

min(S)=1∑T∩S≠∅PT$$min(S)=\frac{1}{\sum _{T\cap S\ne \mathrm{\varnothing }}{P}_T}$$

我们如果求出了min(s)$min(s)$，就直接计算就好了。
怎么求？

∑T∩S≠∅PT=sum−∑T∩S=∅PT=sum−∑T∩(all−S)=(all−S)PT$$\begin{gathered} \sum _{T\cap S\ne \mathrm{\varnothing }}{P}_T \\ =sum-\sum _{T\cap S=\mathrm{\varnothing }}{P}_T \\ =sum-\sum _{T\cap (all-S)=(all-S)}{P}_T \end{gathered}$$

然后FWT$FWT$计算即可。
代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1050005;
int n,all,tmp,cnt[N];
double sum,res,ans,a[N];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    all=1<<n;
    for(int i=0;i<all;i++){
        cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
        scanf("%lf",&a[i]);
        sum+=a[i];
        if(fabs(a[i])>1e-6){
            tmp|=i;
        }
    }
    if(tmp!=all-1){
        puts("INF");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<all;i<<=1){
        for(register int j=0;j<all;j+=(i<<1)){
            for(register int k=j;k<j+i;k++){
                a[k+i]+=a[k];
            }
        }
    }
    for(register int i=0;i<all;i++){
        res=sum-a[all-1-i];
        if(res>1e-6){
            res=1/res;
        }else{
            res=0;
        }
        if(cnt[i]&1){
            ans+=res;
        }else{
            ans-=res;
        }
    }
    printf("%.8lf
",ans);
    return 0;
}

推广 kth min-max容斥

我们考虑构造一个容斥系数f(x)$f(x)$，使得

kthmax(S)=∑T⊆Sf(|T|)min(T)$$kthmax(S)=\sum _{T\subseteq S}f(|T|)min(T)$$

考虑第x+1$x+1$大的元素会被统计到的贡献。
这个贡献为∑xi=0Cix×f(i+1)$\sum _{i=0}^x{C}_x^i\times f(i+1)$
则

[x==k−1]=∑i=0xCix×f(i+1)$$[x==k-1]=\sum _{i=0}^x{C}_x^i\times f(i+1)$$

二项式反演一下

f(x+1)=∑i=0x(−1)x−iCix[i==k−1]$$f(x+1)=\sum _{i=0}^x(-1{)}^{x-i}{C}_x^i[i==k-1]$$

得到

f(x+1)=(−1)(x−(k−1))Ck−1x$$f(x+1)=(-1{)}^{(x-(k-1))}{C}_x^{k-1}$$

因此

f(x)=(−1)x−kCk−1x−1$$f(x)=(-1{)}^{x-k}{C}_{x-1}^{k-1}$$

综上，

kthmax(S)=∑T⊆Sf(|T|)min(T)=∑T⊆S(−1)|T|−kCk−1|T|−1min(T)$$\begin{gathered} kthmax(S)=\sum _{T\subseteq S}f(|T|)min(T) \\ =\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-k}{C}_{|T|-1}^{k-1}min(T) \end{gathered}$$

有一道例题，还没弄懂，不会做：重返现世
这道题是ypl学长的神题QwQ