[LuoGu] P1018 乘积最大

(color{red}{mathcal{Description}})

今年是国际数学联盟确定的“(2000)---世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 (90) 周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友 (XZ) 也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为 (N) 的数字串，要求选手使用 (K) 个乘号将它分成 (K+1) 个部分，找出一种分法，使得这 (K+1) 个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：(312)，当 (N=3),(K=1) 时会有以下两种分法：

(3 imes 12=36) , (31 imes 2=62) 这时，符合题目要求的结果是: (31 imes 2 = 62)

现在，请你帮助你的好朋友 (XZ) 设计一个程序，求得正确的答案。

(color{red}{mathcal{Input Format}})

程序的输入共有两行：第一行共有22个自然数 (N,K), 第二行是一个长度为 (N) 的数字串。

(color{red}{mathcal{Output Format}})

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

(color{red}{mathcal{DataSize Agreement}})

(6≤N≤40,1≤K≤6)

(color{red}{mathcal{Solution}})

线性dp

令 (dp[i][j]) 表示在前 (i) 个字符中插入 (j) 个乘号能得到的最大乘积.枚举第 (j) 个乘号插入的位置(第 (k) 个数字后),则可得到转移方程:

[dp[i][j]=max{dp[k][j-1]*num(k+1,i)} (2 leq i leq N,1 leq j leq min(i-1,K), j leq k < i) ]

初始化 (dp[i][0]=num(1,i) (1 leq i leq N))

基于题目数据,要用到高精度

(color{red}{mathcal{Code}})
(不加高精)

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define reg register

using namespace std;

const int kN = 100;

LL dp[kN][kN];
string num;
int N, K; 

LL Cut(int l, int r) {
  LL ret = 0;
  for (reg int i = l; i <= r; ++i)
    ret = ret * 10 + num[i - 1] - '0';
  return ret;
}

int main() {
  scanf("%d%d", &N, &K);
  cin >> num;
  for (reg int i = 1; i <= N; ++i)
    dp[i][0] = dp[i - 1][0] * 10 + num[i - 1] - '0';
  for (reg int i = 2; i <= N; ++i)
    for (reg int j = 1; j <= min(i - 1, K); ++j)
      for (reg int k = j; k < i; ++k)
        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j - 1] * Cut(k + 1, i));
  printf("%lld
", dp[N][K]);
  return 0;
}

(color{red}{mathcal{Source}})

(NOIp 2000 TG T2)