01 | 从计数开始，程序员必知必会的数制转换法
数制
数制是一种计算数量大小的制度，也是计数法。用大白话来说，就是数数的方法。
数制中，最重要的因素是基数。假设我们设置基数为 10 来数数，那就是在用十进制计数法；如果设置基数为 2，就是在用二进制计数法。经常说的进制，其实就是数制
不同的数制中，使用最广泛的就是十进制，这与人类有 10 个手指头是密不可分的。人类在学习计数和四则运算时，会通过手指头辅助计算。
- 在我国的古代，也曾经使用过十六进制。例如，成语半斤八两的含义是彼此不相上下，实力相当。即半斤就是 8 两，1 斤就是 16 两。
-在时间的计数场景时，我们也用过二十四进制和六十进制。例如，1 天等于 24 小时，1 小时等于 60 分钟，1 分钟等于 60 秒。还有的常用：温度计数场景、信息计数场景、航距计数场景、这些都是数制在起作用
不同的数制表达
有了不同的数制，就需要对数制下的数字进行区分，否则就会造成混淆。例如，象征考试得了满分的 100，在十进制下依旧是 100；而在二进制下，它就是十进制下的 4。0b100=4；在八进制，则表示十进制下的 640o100=64；在十六进制，则表示十进制下的 256。0x100=256
至于为什么如此计算转换，下文的数制转换方法会详细讲解。
所以如果对数字不加以说明，你会发现很难判断这到底是哪个数制下的数字，毕竟同一数字在不同数制下其意义是完全不同的。为了避免混淆，我们对不同数制下的数字做了区分。
十进制使用的数字符号是 [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]；对于二进制和八进制，它们仍然沿用十进制的数字符号。在十六进制中，由于数字符号不够用，这就需要额外补充。一般用 [A,B,C,D,E,F]（一般不会特别区分字母的大小写），分别代表十进制下的 [10,11,12,13,14,15]。
一般而言，没有额外说明的数字都是十进制下的数字；
表示二进制时，会用 0b 作为数字的前缀；
表示八进制时，会用 0o 或者 0 作为数字的前缀；
表示十六进制时，会用 0x 作为数字的前缀。
这里 b、o、x 三个英文字母的选择均来自数制的英文单词。
综上，我们对这几个数制的信息整理如下表：
数制转换方法下面的转换方法都是针对的整数,小数的话要用的补码,这个会复杂,具体怎么进行小数的转换呢?
人们在使用数制进行计算时，都习惯性地把原问题映射到十进制中；计算完成后，再映射回去。这里就牵涉数制的转换啦。就是因为人类习惯10进制,所以才要转换
我举一个生活中最常见的数制转换的例子。
例如，上午 8:40 开始考试，考试时长是 40 分钟，问考试结束的时间是多少？
计算过程是：考试时长的40 分钟加上 8 点过 40 分的40 分钟就是 80 分钟，也即是 1 小时 20 分钟，再加上 8 点本身，结束时间就是上午 9:20。
“40分钟+40分钟=80分钟”就是十进制的算术过程，可见为了完成其他数制的运算，我们依旧更喜欢用十进制做桥梁，毕竟我们对十进制的运算是最熟悉的。
1.换基法（换向十进制）
对于任意一个基数 N 进制下的数字 X，它转换为十进制的方法。如下图的公式所示：原进制若是 N 进制，转换时的基数便取 N。例如，将二进制的 X 转化为十进制时，运算时的转换基数便取为 2。
2. 除余法（十进制向其他进制转换）
转向的目标进制为 N 进制，则以 N 为除数不断地做除法，将最后的商和之前的余数逆序串联在一起，就是最终的结果。
例如，十进制的 19 转换为二进制的过程如下图所示：
3. 按位拆分法和按位合并法
对于八进制和二进制之间的转换，你可以利用十进制做个跳板。
除此之外，还有一个简单的按位拆分法，可以将八进制转为二进制。
你只需要把原来八进制中的每个数字符号，直接拆分为3 位的二进制数字符号（必须保证是 3 位），再按顺序串联起来，就是最终结果。
我们以八进制下的 023 为例进行讲解：
-
由于十进制的 2 的二进制表示是 010；
-
十进制的 3 的二进制表示是 011；
-
最后，别忘加上二进制的符号 0b，并去掉首位 0。
则八进制的 023 的二进制表示就是 0b10011，如下图
同理:
- 二进制转换为八进制，可以采用每 3 位合并的按位合并法。
二进制的 0b10011 转换为八进制，则从后往前每 3 位合并 - 对于十六进制和二进制之间的转换，也可以采用按位合并和按位拆分的方法，区别只是在于需要按4 位进行合并或拆分
为何八进制与二进制的转换是按照 3 位数合并、拆分，而十六进制与二进制之间则是 4 位数呢？本质原因是在于 2³=8 和 2⁴=16。根据这表达式可以看出，二进制中的 3 个 bit（位），恰好可以表示 0～7 这 8 个数字。因此，按照 3 位合并，就可以从二进制转化到八进制了。同理，按照 4 位合并，就可以从二进制转化到十六进制了。<span style="color:bulle;"就是求对数;以2为底的8的对数;以2为底的16的对数
而八进制与十六进制之间的转换，就不适用按位合并和按位拆分的方法了，你可以以二进制或十进制为跳板，进行两者之间的转换。
4. 数制转换图
只要把这个图画出来,就能转换进制了
数制转换与编程
【例题】判断一个整数 a，是否是 2 的整数次幂。
解析：如果是十进制，判断一个数是否是 10 的整数次幂，只需要看这个数字的形式是否为一个“1”和若干个“0”构成。例如，一个“1”和两个“0”构成“100”，它是 10 的 2 次幂；一个“1”和 4 个“0”构成“10000”，它是 10 的 4 次幂。
因此这个题目的解法就是，把 a 转换为二进制，看看 bin(a) 的形式是否为一个“1”和若干个“0”构成，代码如下：
a = 8
b = str(bin(a))
total = 0
for i in range(2,len(b)):
total += int(b[i])
if total == 1 and b[2] == '1':
print('yes')
else:
print('no')
我们对代码进行解读。解读代码,就应该像这样,用中文的方式描述出代码的含义;这个要还是挺难的,要准确描述基础关键词
- 第 1～2 行，变量 a 为待判断的整数；变量 b 是 a 的二进制形式，并且被我们强制转化为 string 类型，这样 b 的值就是 0b1000。
- 如果形式为一个“1”和若干个“0”，则需要满足以下两个性质：第一，首位为“1”；第二，所有位加和为“1”。
- 在代码中，第 3～6 行，我们计算了所有位数的加和，并保存在 total 变量中。
- 在第 6～9 行，我们根据两个性质，对结果进行判断，并打印 yes 或者 no。
我们还可以利用位运算的“与”，来判断二进制数字 x 的形式是否为一个“1”和若干个“0”。判断的方法是，计算 x & (x-1)，如果结果为 0 则是，如果结果为 1 则不是。位运算涉及哪些知识?
这样我们可以得到更简单的实现代码，代码如下：
a = 80
if a & (a-1) == 0:
print('yes')
else:
print('no')
小结
数制是数字的基础，也是计算机的基础。信息时代的到来，让二进制被广泛应用，这主要是因为电路中的开关只有接通和切断两种状态，二进制的运算也称为位运算。
计算机的数据存储单位便体现了数制的应用，计算机中的数据存储单位常常用 Byte（字节）或 bit（位）。
bit 是表示信息的最小单位，叫作二进制位，一个 bit 等于一个二进制数。一个十进制的数的比特要换成二进制看，比如十进制 31 换二进制是 11111 是 5 个 bit，32 换二进制是 100000 是 6 个 bit。而** Byte 叫作字节，用于表示计算机中的一个字符，是计算机文件大小的基本计算单位，1 Byte = 8 bit（也写作 1B = 8b），它采用了 8 个 2 进制位。**
在本课时中，我们学习不同数制之间的转换方法，包括换基法、除余法、按位拆分法和按位合并法。其中的换基法和除余法，是关于十进制的转换；而按位拆分法和按位合并法，则是关于二进制的转换。
在学习过程中，你会发现八进制和十六进制采用的按位合并法，更像是对二进制的压缩表示。八进制或十六进制的一个位，可以表示出 3 或 4 位的二进制数字。因此，用八进制或十六进制来表示二进制会更为方便。这是不是就是压缩和解压的基础原理?如果不是,那压缩的原理是啥?为什么压缩分那么多的格式呢?