欧几里得算法

欧几里得算法（辗转相除）

gcd(a,b)，用于计算a，b的最大公约数

gcd(a, b)  = g(b, a%b)

证明（反证法）：

　　　　设 r=a%b , c=gcd(a,b)

　　　　则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质

　　　　r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c

　　　　因为gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

　　　　b = yc;

　　　　a%b = r = (x-py)c

　　　　所以 y 与 (x-py) 互质

　　　　反证法：

　　　　　　假设 y 与 (x-py) 不互质

              　　设 y = nk , x-py = mk , (k>1) 不互质有大于1的公因子

             　　 将 y 带入可得

              　　x-pnk = mk

              　　x = (pn + m)k

             　　 则 a = xc = (pn+m)kc , b = yc = nkc

              　　那么此时 a 与 b 的最大公约数为 kc 不为 k

              　　与原命题矛盾，则 y 与 x-py 互质

所以 gcd(a, b)  = gcd(b, a%b)成立

代码实现用递归的方法，当a%b等于0时退出，返回b

代码：

 int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}