#include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; int dp[100][100],pre[100]; const int tmin=999999999; int maxflow; void EK(int start,int end,int n){ while(1){ queue<int>q; q.push(1);//源点为1，进队 int minflow=tmin; memset(pre,0,sizeof(pre));//初始化增广路径数组，题目中的顶点是从1开始的 while(!q.empty()){//bfs找增广路 int u=q.front(); q.pop(); for(int i=1;i<=n;i++){ if(dp[u][i]>0&&!pre[i]){//pre[i]除了记录当前顶点的父亲，还记录当前顶点有没被访问过 pre[i]=u; q.push(i); } } } if(pre[end]==0)//顶点的父亲为空，表示找不到增广路，很容易理解吧。。 break; for(int i=end;i!=start;i=pre[i]){//找出增广路中最小残余量 minflow=min(dp[pre[i]][i],minflow); } for(int i=end;i!=start;i=pre[i]){//更新增广路中正反向弧的流量 dp[pre[i]][i]-=minflow; dp[i][pre[i]]+=minflow; } maxflow+=minflow; } } int main(){ int count=0; int n,m; int t; scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d%d",&n,&m); memset(dp,0,sizeof(dp)); memset(pre,0,sizeof(pre)); count++; int u,v,w; for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); dp[u][v]+=w; } maxflow=0; EK(1,n,n); printf("Case %d: %d ",count,maxflow); } return 0; }
EdmondsKarp算法，简称EK算法，O(m^2n)
因为是初学教程，所以我会尽量避免繁杂的数学公式和证明。也尽量给出了较为完整的代码。
本文的目标群体是网络流的初学者，尤其是看了各种NB的教程也没看懂怎么求最大流的小盆友们。本文的目的是，解释基本的网络流模型，最基础的最大流求法，即bfs找增广路法，也就是EK法，全名是Edmond-Karp，其实我倒是觉得记一下算法的全名和来历可以不时的拿出来装一装。
比如说这个，EK算法首先由俄罗斯科学家Dinic在1970年提出，没错，就是dinic算法的创始人，实际上他提出的也正是dinic算法，在EK的基础上加入了层次优化，这个我们以后再说，1972年Jack Edmonds和Richard Karp发表了没有层次优化的EK算法。但实际上他们是比1790年更早的时候就独立弄出来了。
你看，研究一下历史也是很有趣的。
扯远了，首先来看一下基本的网络流最大流模型。
有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点，通常规定为1号点。另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点，通常规定为n号点。每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。
把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。
比如这个图。每条边旁边的数字表示它的容量。
下面我们来考虑如何求最大流。
首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。
这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。
我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。
寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs，并不断修改这条路上的delta量，直到找到源点或者找不到增广路。
这里要先补充一点，在程序实现的时候，我们通常只是用一个c数组来记录容量，而不记录流量，当流量+1的时候，我们可以通过容量-1来实现，以方便程序的实现。