聚类:物以类聚,人以群分
- 假设(f(x))为多元函数,如果对任意(tin[0,1]),均满足:
则称(f(x))为凸函数
- (Jensen)不等式:如果(f)是凸函数,(X)是随机变量,则:(f(E[X])le E[f(X)])
- (Jensen)不等式另一种描述
-
取等号的条件是:(f(x_i))是常量
-
聚类的本质:将数据集中相似的样本进行分组的过程
-
每个组称为一个簇((cluster))每个簇的样本对应一个潜在的类别
-
样本没有类别标签,一种典型的无监督学习方法
-
这些簇满足以下两个条件
- 相同簇的样本之间距离较近
- 不同簇的样本之间距离较远
-
聚类方法:层次聚类、(K-Means)、谱聚类等
-
(K-Means)最初起源于信号处理,是一种比较流行的聚类方法
-
数据集为({x_i}_{i=1}^n),将样本划分为(k)个簇,每个簇中心为(c_j(1le j le k))
-
优化目标:最小化所有样本点到所属簇中心的距离平方和
-
其中(r_{ij}in {0,1}),若样本(x_i)被划分到簇(k)中,那么(r_{ij}=1),且对于(j eq k),有(r_{ij} = 0),(sum ^k_{j=1}r_{ij} = 1)
-
模型:(minlimits_{r,c}J(r,c)=sum^k_{j=1}sum^n_{i=1}r_{ij}||x_i-c_j||^2_2)
-
交替迭代法:
- 固定(c),优化(r)
- 固定(r),优化(c)
-
优化目标:(J(r)=sum^n_{j=1}sum^k_{i=1}r_{ij}||x_i-c_j||^2_2=sum^n_{i=1}J_i(r_i))
-
算法流程:
- 随机选择(k)个点作为初始中心
- (Repeat):
- 将每个样本指派到最近的中心,形成(k)个类
- 重新计算每个类的中心为该类样本均值
- 直到中心不发生变化
高斯混合模型(GMM)
- 假设数据集({x_i}^n_{i=1})从(k)个高斯模型中生成({N(x|mu_j,sum_j)}^k_{j=1}),样本来自第(j)个高斯的概率为(pi_j,sum^k_{j=1}pi_j=1),记( heta = {mu,sum,pi})
- (r_{ij})表示(x_i)来自高斯(j)的概率,(r_{ij}in[0,1],sum^k_{j=1}r_{ij}=1)
- (p(x_i)=sum^k_{j=1}pi_jN(x_i|mu_j,sum_j))
- 优化目标为最大化对数似然函数:
EM算法
-
假设数据集为({x_i}^n_{i=1}),隐含变量为({z_i}^n_{i=1},z_iin{1,2,...,k})模型参数为( heta)
-
似然函数(LL( heta)=sum^n_{i=1}ln(sum^k_{j=1}p(x_i,z_i| heta)))
-
算法流程:
- 初始化参数( heta^{(0)})
- 不断重复以下两步直到收敛:
- ((E-step))求解(L( heta))的下界函数,等价于求(Q)函数:(Q_i(z_i| heta^{(t)})=p(z_i|x_i, heta^{(t)}))
- ((M-step))下界函数最大化( heta^{(t+1)}=argmax_ hetasum^n_{i=1}sum^k_{j=1}q_i(z_i| heta^{(t)})lnfrac{P(x_i,z_i| heta)}{Q_i(z_i| heta^{(t)})})
案例:
假设我们使用欧式距离计算样本到中心的距离。对于样本 (d) 维样本 (mathbf{x}) 到中心 (mathbf{c}) 的欧式距离计算公式为:
使用最简单的方式来实现,先用一个函数 point_dist
计算一个样本到中心的距离。这里我们使用 Numpy 的线性代数模块 linalg
中的 norm
方法。
import numpy as np
def point_dist(x,c): #定义距离计算函数
return np.linalg.norm(x-c)
#然后使用 iterrows 方法遍历样本计算样本到中心的距离,定义 k_means_iterrows 方法实现 K-Means 算法。
def k_means1(X,k):
centers = X.sample(k).values #从数据集随机选择 K 个样本作为初始化的类中心,k 行 d 列
X_labels = np.zeros(len(X)) #样本的类别
error = 10e10
while error > 1e-6:
for i,x in X.iterrows():#指派样本类标签
X_labels[i] = np.argmin([point_dist(x,centers[i,:]) for i in range(k)])
centers_pre = centers
centers = X.groupby(X_labels).mean().values #更新样本均值,即类中心
error = np.linalg.norm(centers_pre - centers)#计算error
return X_labels, centers
#用一个简单的随机数据集来测试时间性能。Sklearn 中的 datasets 模块的 make_blobs 函数能够自动生成一些供测试聚类算法的随机数据集。它能够根据输入的参数生成数据集和对应的类标签。
from sklearn import datasets
import pandas as pd
X, y = datasets.make_blobs(n_samples=5000, n_features=8, cluster_std = 0.5,centers=3,random_state=99)
X_df = pd.DataFrame(X)
#在该数据集上用我们实现的 k_means1 方法运行 K-Means 聚类。使用 iPython 提供的魔法命令 %time 记录运行时间。
%time labels,centers = k_means1(X_df,3) # for 循环
#提高运算效率,可以使用 DataFrame 的 apply 函数,它可以对数据框中的每一行执行一个复杂的函数。在我们的例子中,是计算每一行与每一个中心的距离。
def k_means2(X,k):
#初始化 K 个中心,从原始数据中选择样本
centers = X.sample(k).values
X_labels = np.zeros(len(X)) #样本的类别
error = 10e10
while error > 1e-6:
#********#
X_labels = X.apply(lambda r : np.argmin([point_dist(r,centers[i,:]) for i in range(k)]),axis=1)
centers_pre = centers
centers = X.groupby(X_labels).mean().values #更新样本均值,即类中心
error = np.linalg.norm(centers_pre - centers)#计算error
return X_labels, centers
%time labels,centers = k_means2(X_df,3) # apply 运算
数据集表示成 (n imes d) 矩阵 (mathbf{X}),其中 (n) 为样本数量,(d) 为样本的维度。 (k) 个聚类中心表示成 (k imes d) 矩阵 (mathbf{C}),(mathbf{C}) 每一行表示一个聚类中心。样本到 (k) 个中心的距离表示成 (n imes k) 矩阵 (mathbf{D})。
已经聚类中心,计算样本到中心距离,并将样本划分到距离最小的类。
使用 Numpy 实现上述计算流程的代码为:
for i in range(k):
D[:,i] = np.sqrt(np.sum(np.square(X - C[i,:]),axis=1))
labels = np.argmin(D,axis=1)
得到样本的类标签后,聚类中心的更新流程为:1)根据类标签对样本进行分组;2)将聚类中心更新为每一组样本的均值。Python 实现的代码为:
C = X.groupby(labels).mean().values
现在我们更新 K-Means 算法的实现,函数名为 k_means
。
import pandas as pd
import numpy as np
def k_means(X, k):
C = X.sample(k).values # 从数据集随机选择 K 个样本作为初始化的类中心,k 行 d 列
X_labels = np.zeros(len(X)) # 记录样本的类别
error = 10e10 # 停止迭代的阈值
while error > 1e-6:
D = np.zeros((len(X), k)) # 样本到每一个中心的距离,n 行 k 列
for i in range(k):
D[:, i] = np.sqrt(np.sum(np.square(X - C[i, :]), axis=1))
labels = np.argmin(D, axis=1)
C_pre = C
temp_C = X.groupby(labels).mean() # 更新样本均值,即类中心
C = np.zeros((k, X.shape[1]))
for i in temp_C.index:
C[i, :] = temp_C.loc[i, :].values
if C.shape == C_pre.shape:
error = np.linalg.norm(C_pre - C) # 计算error
else:
print(C.shape, C_pre.shape)
return labels, C
%time labels,centers = k_means(X_df,3) # 矩阵运算
#下面我们使用一份随机生成的二维数据集,使用我们上一小节实现的 k_means 完成聚类,然后使用不同颜色标注不同类的样本以及类中心。
color_dict = {0:"#E4007F",1:"#007979",2:"blue",3:"orange"} #洋红,深绿,蓝色,橘色
from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
%matplotlib inline
X, y = datasets.make_blobs(n_samples=1000, n_features=2, cluster_std = 1.5,centers=4,random_state=999)
X_df = pd.DataFrame(X,columns=["x1","x2"])
labels,centers= k_means(X_df,4)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8)) #设置图片大小
for i in range(len(centers)):
ax.scatter(X_df[labels == i]["x1"],X_df[labels == i]["x2"],color=color_dict[i],s=50,alpha=0.4)
ax.scatter(centers[int(i),0],centers[int(i),1],color="r",s=100,marker="+")
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$x_2$")
# 要动态展示 K-Means 聚类过程,我们需要在每一步迭代中记录每一个类的中心,以及每一个类的样本集合。创建 k_means_steps,在完成聚类的同时,将每一步迭代的每类样本和中心返回。
def k_means_steps(X, k):
# 初始化 K 个中心,从原始数据中选择样本
# ********#
samples_list = [] # 记录每一个中间迭代中每一类样本
centers_list = [] # 记录每一个中间迭代中每一类样本中心
# ********#
C = X.sample(k).values
labels = np.zeros(len(X)) # 样本的类别
error = 10e10
while (error > 1e-6):
D = np.zeros((len(X), k)) # 样本到每一个中心的距离
for i in range(k):
D[:, i] = np.sqrt(np.sum(np.square(X - C[i, :]), axis=1))
labels = np.argmin(D, axis=1)
C_pre = C
C = X.groupby(labels).mean().values # 更新样本均值,即类中心
# ********# 记录当前迭代地每一类的样本集合和中心
samples, centers2 = [], []
for i in range(k):
samples.append(X[labels == i])
centers2.append(C[i, :])
samples_list.append(samples)
centers_list.append(centers2)
# ********#
if C.shape == C_pre.shape:
error = np.linalg.norm(C_pre - C) # 计算error
else:
print(C.shape, C_pre.shape)
return labels, C, samples_list, centers_list # ********# 返回最终的聚类结果,聚类中心,每一步的聚类结果和聚类中心
# 我们可以借助 matplotlib.animation 动画模块来实现下面的 init_draw 函数是动画最开始时绘制的内容,包含数据。update_draw 则是每次更新的内容。
labels, centers, samples_list, centers_list = k_means_steps(X_df, 4)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
samples_obj = []
centers_obj = []
def init_draw(): # 展现样本数据
ax.set_title("K-Means聚类过程:")
for i in range(len(centers)):
samples_obj.append(
ax.scatter(samples_list[0][i]["x1"], samples_list[0][i]["x2"], color=color_dict[i], s=50, alpha=0.6))
centers_obj.append(ax.scatter(centers_list[0][i][0], centers_list[0][i][1], color="r", s=100, marker="+"))
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$x_2$")
def update_draw(t): # 实现动画中每一帧的绘制函数,i为第几帧
ax.set_title("K-Means聚类过程:" + str(t))
samples, centers = samples_list[t], centers_list[t]
for i in range(len(centers)):
samples_obj[i].set_offsets(samples[i])
centers_obj[i].set_offsets(centers[i])
plt.close()
# 演示决策面动态变化
import matplotlib.animation as animation
from IPython.display import HTML
animator = animation.FuncAnimation(fig, update_draw, frames=range(1, len(centers_list)), init_func=init_draw,
interval=2000)
HTML(animator.to_jshtml())
# 我们来查看随着迭代的进行,K-Means聚类模型的优化目标,即失真度量 JJ 的变化。对算法进行修改,记录每一步的失真度量。
import pandas as pd
import numpy as np
def k_means_inertia(X, k):
# 初始化 K 个中心,从原始数据中选择样本
C = X.sample(k).values
labels = np.zeros(len(X)) # 样本的类别
inertia_list = [] # *****记录优化目标****#
error = 10e10
while (error > 1e-6):
D = np.zeros((len(X), k)) # 样本到每一个中心的距离
for i in range(k):
D[:, i] = np.sqrt(np.sum(np.square(X - C[i, :]), axis=1))
labels = np.argmin(D, axis=1)
inertia_list.append(np.square(np.min(D, axis=1)).sum()) # ****记录当前步骤的失真度量****#
C_pre = C
temp_C = X.groupby(labels).mean() # 更新样本均值,即类中心
C = np.zeros((k, X.shape[1]))
for i in range(len(temp_C)):
C[i, :] = temp_C.loc[i, :].values
if C.shape == C_pre.shape:
error = np.linalg.norm(C_pre - C) # 计算error
return labels, C, inertia_list
# 在随机数据上进行聚类,并将失真度量的变化以折线图的形式绘制出来。
X, y = datasets.make_blobs(n_samples=1000, n_features=2, cluster_std=1, centers=3, random_state=99)
X_df = pd.DataFrame(X, columns=["x1", "x2"])
labels, centers, inertia_list = k_means_inertia(X_df, 3)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6)) # 设置图片大小
t = range(len(inertia_list))
plt.plot(t, inertia_list, c="#E4007F", marker="o", linestyle='dashed')
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("inertia")
plt.xticks(t)
plt.title("K-Means算法优化目标的变化")
我们先加载一张测试图片,将图片打印出来。使用 PIL.Image.open
方法来打开图片,然后使用 matplotlib
中的 imshow
方法将图片可视化。
from PIL import Image
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) # 设置图片大小
path = './input/timg.jpg'
img = Image.open(path)
plt.imshow(img)
plt.box(False) # 去掉边框
plt.axis("off") # 不显示坐标轴
# 将一张图片转换成表格形式。每一行为一个像素,三列分别为像素的 R,B,G取值。获取图片的每一个像素 (i,j)(i,j) 的 RBG 值可以使用 Image 类的 getpixel 方法。
import pandas as pd
def image_dataframe(image): # 将图片转换成DataFrame,每个像素对应每一行,每一行包括三列
rbg_values = []
for i in range(image.size[0]):
for j in range(image.size[1]):
x, y, z = image.getpixel((i, j)) # 获取图片的每一个像素 (i,j)(i,j) 的 RBG 值
rbg_values.append([x, y, z])
return pd.DataFrame(rbg_values, columns=["R", "B", "G"]), img.size[0], img.size[1]
img_df, m, n = image_dataframe(img)
img_df.head()
print(m, n, m * n, len(img_df))
labels, _ = k_means(img_df, 2)
# 将生成的灰度图可视化,对图像可视化使用 plt.imshow 方法。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) # 设置图片大小
labels = labels.reshape((m, n))
pic_new = Image.new("L", (m, n))
# 根据类别向图片中添加灰度值
for i in range(m):
for j in range(n):
pic_new.putpixel((i, j), int(256 / (labels[i][j] + 1)))
plt.imshow(pic_new)
plt.box(False) # 去掉边框
plt.axis("off") # 不显示坐标轴
# 实现一个函数 img_from_labels ,将像素聚类类别标签,转换成一张灰度图。
def img_from_labels(labels, m, n):
labels = labels.reshape((m, n))
pic_new = Image.new("L", (m, n))
# 根据类别向图片中添加灰度值
for i in range(m):
for j in range(n):
pic_new.putpixel((i, j), int(256 / (labels[i][j] + 1)))
return pic_new
# 调整聚类数量 kk , 将聚类得到的不同的灰度图使用 Matplotlib 将生成的灰度图绘制出来。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(18, 10)) # 设置图片大小
img = Image.open(path) # 显示原图
plt.subplot(2, 3, 1)
plt.title("原图")
plt.imshow(img)
plt.box(False) # 去掉边框
plt.axis("off") # 不显示坐标轴
for i in range(2, 7):
plt.subplot(2, 3, i)
plt.title("k=" + str(i))
labels, _ = k_means(img_df, i)
pic_new = img_from_labels(labels, m, n)
plt.imshow(pic_new)
plt.box(False) # 去掉边框
plt.axis("off") # 不显示坐标轴
本案例中我们使用首先使用三种方式实现了 K-Means 算法并对不同实现的时间性能进行了对比,结果发现向量化实现能够大大提高运行效率。然后我们使用 K-Means 算法进行图像分割,展示了不同 K 取值下生成的灰度图的变化。最后,我们使用 K-Means 在一份中文新闻数据集进行了主题聚类。
本案例使用的主要 Python 工具如下:
工具包 | 用途 |
---|---|
NumPy | 矩阵运算 |
Pandas | 数据读取与预处理 |
Matplotlib | 数据集可视化、聚类结果动画 |
Sklearn | 中文新闻的向量化 |
Wordcloud | 绘制聚类结果词云图 |