【原】概率论——第一章第2节

第一章 随机事件与概率

1.2 概率的定义

一 事件域

事件域的定义:设$Omega$为一样本空间,$mathcal{F}$为$Omega$的某些子集所组成的集合类,如果$mathcal{F}$满足:

  1. $Omega in mathcal{F}$;
  2. 若$A in mathcal{F}$,则对立事件$overline A in mathcal{F}$;
  3. 若$A_n in mathcal{F},quad n=1,2,cdots$,则可列并$igcuplimits_{n=1}^{+infty} A_n in mathcal{F}$。

我们称$mathcal{F}$为一个事件域,又称为$sigma$代数。

例1 常见的事件域:

  • 若样本空间只含两个样本点:$Omega={omega_1,omega_2}$,记$A={omega_1}$,$overline A={omega_2}$,则事件域为$mathcal{F}={emptyset,A,overline A,Omega}$;
  • 设$Omega$是一个样本空间,$AsubsetOmega$(可测),则$F_1={emptyset,Omega}$,$F_2={emptyset,A,overline A,Omega}$都是事件域;
  • 若样本空间含有$n$个样本点:$Omega={omega_1,omega_2,cdots,omega_n}$,则其事件域$mathcal{F}$是由空集$emptyset$,$n$个单元素,${nchoose 2}$个双元素,${nchoose 3}$个三元素,$cdots$和$Omega$组成的集合类。这时$mathcal{F}$中共有${nchoose 0}+{nchoose 1}+cdots+{nchoose n}=2^n$个事件;
  • 设$Omega=(a,b)$(区间),则$F={(a,b)上的全部可测集}$也是事件域。

二 概率的公理化定义

设$Omega$为一个样本空间,$mathcal{F}$为$Omega$的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件$A in mathcal{F}$,定义在$mathcal{F}$上的一个实值函数$P(A)$满足:

  1. 非负性公理:若$A in mathcal{F}$,则$P(A)ge 0$;
  2. 正则性公理:$P(Omega)=1$;
  3. 可列可加性公理:若$A_1,A_2,cdots,A_n,cdots$互不相容,有$$P(igcuplimits_{i=1}^{+infty} A_i)=sum limits_{i=1}^{+infty} P(A_i)$$

则称$P(A)$为事件$A$的概率,称三元素$(Omega,mathcal{F},mathcal{P})$为概率空间。

原文地址:https://www.cnblogs.com/10manongit/p/12817444.html