我们知道$\mathbb C$可以看做是$2$元数,再来看四元数$\mathbb H$,他的基是$1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$,并且按照下面的乘法表运算
| $1$ | $\mathbf i$ | $\mathbf j$ | $\mathbf k$ | |
| $1$ | $1$ | $\mathbf i$ | $\mathbf j$ | $\mathbf k$ |
| $\mathbf i$ | $\mathbf i$ | $-1$ | $\mathbf k$ | $-\mathbf j$ |
| $\mathbf j$ | $\mathbf j$ | $-\mathbf k$ | $-1$ | $\mathbf i$ |
| $\mathbf k$ | $\mathbf k$ | $\mathbf j$ | $-\mathbf i$ | $-1$ |
由乘法表可以看出$\mathbb H$是一个非交换的结合代数.$\mathbb H$的每个元素类似于复数域$\mathbb C$可被唯一表示成$$\mathbf q=\alpha+\beta\mathbf i+\gamma\mathbf j+\sigma\mathbf k$$其中$\alpha,\beta,\gamma,\sigma\in\mathbb R$.可以类似的定义共轭四元数的概念$$\overline{\mathbf q}=\alpha-\beta\mathbf i-\beta\mathbf j-\sigma\mathbf k$$我们不难验证非零的四元数$\mathbb H^*:=\mathbb H\setminus \{0\}$具有群的结构,并且构成无限阶的非交换群,其幺元是$1$.称为四元数代数乘法群.
类似于$\mathbb C$,我们还可以定义四元数$\mathbf q$的模长的概念$$|\mathbf q|^2:=\mathbf q\cdot\mathbf q^*=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\sigma^2$$如果我们把四元数对应其共轭看做是一个映射$\pi:\mathbf q\to\overline{\mathbf q}$,利用如下共轭的运算律\begin{align*}\overline{\left(k\mathbf q_1+l\mathbf q_2\right)}&=k\overline{\mathbf q}+l\overline{\mathbf q_2},k,l\in\mathbb R\\\overline{\mathbf q_1\cdot\mathbf q_2}&=\overline{\mathbf q_2}\cdot\overline{\mathbf q_1}\\|\mathbf q_1\cdot\mathbf q_2|&=|\mathbf q_1|\cdots|\mathbf q_2|\end{align*}显然$\pi$是$\mathbb H$的一个反自同构.而映射$\phi:\mathbf q\to|\mathbf q|$是乘法群$\mathbb H^*$到乘法群$\mathbb R^*$的一个同态,同态核$$\mathrm{Ker}\phi:=\{\mathbf q\in\mathbb H:|\mathbf q|=1\}\leq \mathbb H^*$$称为辛群(也就是那些模长为$1$的四元数关于乘法构成的群).如果只考虑$\mathbf{i,j,k}$在$\mathrm{Ker}\phi$中的生成话便会得到一个更简单的子群$$\mathbb Q_8=\{\pm 1,\pm\mathbf i,\pm\mathbf j,\pm\mathbf k\}$$构成一个$8$阶非交换群,称为Hamilton四元数群.
事实上由将$\mathbf{i,j,k}$分别取下列矩阵便能得到一个更为具体的$\mathbb Q_8$的例子,取$$1=E_2,\mathbf i=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right),\mathbf j=\left(\begin{matrix}0&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{matrix}\right),\mathbf k=\mathbf{ij}=\left(\begin{matrix}\sqrt{-1}&0\\0&-\sqrt{-1}\end{matrix}\right)$$
事实上之所要建立四元数,源于矢量问题,二维向量我们可以通过复数来研究,因为每个二维向量都对应平面中的一个复数$a+b\sqrt{-1}$.但是如果是三维向量的运算与复数运算差别太大,向量的内积并不是代数运算,而叉乘不满足结合律、交换律.Hamilton发现要建立一个相容的新的数系就必须放弃数的乘法的交换性,从而创立了四元数.