参考博文：「隔板法」详解
理解隔板法
隔板法就是在 (n) 个元素间的 (n-1) 个空插入 (k-1) 个板子，把 (n) 个元素分成 (k) 组的方法。方案数为 (mathrm{C}_{n-1}^{k-1})。
应用隔板法必须满足的 3 个条件：
- (n) 个元素是相同的
- (k) 个组是互异的
- 每组至少分得一个元素
例如，把 10 个相同的球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少一个，有 (mathrm{C}_9^2) 种情况。
隔板法应用
普通隔板法
例 1. 求方程 (x+y+z=10) 的正整数解的个数。
分析：将 (10) 个求排成一排，球与球之间形成 (9) 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 (x)、(y)、(z) 的值，则隔板法与解的个数之间建立了一一对应关系，故解的个数为 (mathrm{C}_{n-1}^{ m-1} = mathrm{C}_9^2 = 36)。
增减元素隔板法
例 2. 求方程 (x+y+z=10) 的非负整数解的个数。
分析：注意到 (x)、(y)、(z) 可以为零，故例 1 解法中的限定「每空至多插一块隔板」就不成立了，怎么办呢？只要预先给 (x)、(y)、(z) 各添加一个球，这样原问题就转化为求 ((x+1)+(y+1)+(z+1)=13) 的解的个数了，则问题就等价于把 (13) 个相同小球放入 (3) 个不同箱子，每个箱子至少一个，方案数为 (mathrm{C}_{n+m-1}^{m-1}=mathrm{C}_{12}^2=66)。
例 3. 把 (10) 个相同的小球放到 (3) 个不同的箱子，第一个箱子至少 (1) 个，第二个箱子至少 (3) 个，第 (3) 个箱子可以为空，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入 (10) 个小球中的 (2) 个，小球剩 (8) 个放 (3) 个箱子，然后在第三个箱子放入 (8) 个小球之外的 (1) 个小球（即补充了一个球），则问题转化为把 (9) 个相同小球放 (3) 不同箱子，每箱至少 (1) 个，几种方法？(mathrm{C}_8^2=28)。
也可转化为例 2 的形式，即求方程 (x+y+z=10) ((xge 1,yge 3,zge 0)) 的整数解的个数。构造新变量 (a=y-2, b=z+1)，现在 (x,a,b) 都 (ge 1) 了，因此可以运用隔板法。原方程化为 (x+a+b=10-2+1=9)，隔板法求得方案数 (mathrm{C}_{9-1}^{2-1}=mathrm{C}_8^2=28)。
例 4. 将 20 个相同的小球放入编号分别为 1，2，3，4 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
分析：先在编号 (1,2,3,4) 的四个盒子内分别放 (0,1,2,3) 个球，剩下 (14) 个球，再把剩下的球分成 (4) 组，每组至少 (1) 个，由例 (1) 知方法有 (mathrm{C}_{13}^3=286)（种）。
添板插板法（添加盒子法）
例 5. 有一类自然数，从左往右的第三个数字开始，每个数字都恰好是它左边两个数字之和，直至不能再写为止，如 1459，58，21369 等。这类数共有几个？
分析：因为前 2 位唯一确定了整个序列，只要求出前两位的所有情况即可，设前两位为 (a) 和 (b)
显然 (a + b le 9)，且 (a) 不为 (0)，但 (b) 可以为 0（例如 202246）。这里恼人的地方在于这个不等号，(a+b) 的总数是不确定的。怎么办？
这里可以构造第三个盒子 (c) 来放剩下的球，即 (a+b+c=9) ((age1,bge0,cge0))。老套路，转化为 (a+(b+1)+(c+1)=11)，使得(egin{cases} age1 \ (b+1)ge1 \ (c+1)ge1 end{cases})
题目等价于，11 个球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少放一个，(mathrm{C}_{10}^2)。
选板法
例 6. 有 10 粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完为止，求有多少种不同吃法？
分析：o_o_o_o_o_o_o_o_o_o（o 代表 10 个糖，_ 代表 9 个空）
所以 10 块糖，9 个空，插入 9 块隔板，每个板都可以选择放或不放，相邻两板间的糖一天吃掉，这样共有 (2^9=512) 啦。
分类插板法
例 7. 小梅有 15 块糖，如果每天至少吃 3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
分析：
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论。显然最多吃 5 天，最少吃 1 天。
- 吃 1 天或是 5 天，各一种吃法,一共 (2) 种情况
- 吃 2 天，每天预先吃 2 块，即问 11 块糖，每天至少吃 1 块，吃 2 天，几种情况？ (mathrm{C}_{10}^1=10)
- 吃 3 天，每天预先吃 2 块，即问 9 块糖，每天至少 1 块，吃 3 天？(mathrm{C}_8^2=28)
- 吃 4 天，每天预先吃 2 块，即问 7 块糖，每天至少 1 块，吃 4 天？(mathrm{C}_6^3=20)
所以一共是 (2+10+28+20=60) 种。
*逐步插板法
实际上是逐步插空法，属于插空而不是插板法。
例 8. 在一张节目单中原有 6 个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加 3 个节目，共有几种情况？
分析：可以用一个节目去插 7 个空位，再用第二个节目去插 8 个空位，用最后个节目去插 9 个空位，所以一共是 (mathrm{C}_7^1 mathrm{C}_8^1 mathrm{C}_9^1=504) 种。
综合例题
有 (n) 个不同的盒子，在每个盒子中放一些球（可以不放），使得总球数不大于 (m)，求方案数。
分析：总球数 (le m)，所以我们可以增加一个盒子放 (m) 个球中没被选中的球。所以题目等价于 (m) 个球放入 (n+1) 个盒子中，盒子有里球数可以为 (0)，添元素插板法，每一个盒子都增加一个球，即 (m+n+1) 个球放入 (n+1) 个盒子，(mathrm{C}_{m+n}^n) 为答案。