把圆锥沿高分成(k)份，每份高(frac{h}{k})。
当这一份很薄时，可以近似为一个圆柱。
第(n)份半径：
[frac{nr}{k}
]
第(n)份底面积：
[frac{pi n^2 r^2}{k^2}
]
第(n)份体积：
[frac{pi hn^2r^2}{k^3}
]
总体积：
[sum_{n=1}^{k}frac{pi hr^2}{k^3}n^2
]
因为(1^2+2^2+3^2+...+k^2=frac{k(k+1)(2k+1)}{6})（平方数列求和公式）
所以总体积
[egin{aligned}
V &= frac{pi hr^2}{k^3}cdot frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \
&= frac{pi hr^2}{k^2}cdot frac{(k+1)(2k+1)}{6} \
&= pi hr^2 frac{(1+frac{1}{k})(2+frac{1}{k})}{6}
end{aligned}
]
因为当(k)越来越大，总体积越接近于圆锥体积，(frac{1}{k})越接近于(0)
所以
[V = pi hr^2frac{(1+frac{1}{k})(2+frac{1}{k})}{6} = frac{pi r^2 h}{3}
]
因为(V_{圆柱}=pi r^2 h)
所以(V_{圆锥})是与它等底等高的圆柱体积的(frac{1}{3})