笔者最近学习算法，学了很久也只弄懂了几个排序算法，在这里晒一下下，作为以后参考之用。
一、为什么要研究排序问题
许多计算机科学家认为，排序算法是算法学习中最基本的问题，原因有以下几点：
l 有时候应用程序本身需要对信息进行排序，如为了准备客户账目，银行需要对支票账号进行排序
l 很多算法将排序作为关键子程序
l 现在已经有很多排序算法，它们采用各种技术
l 排序时一个可以证明其非平凡下界的问题，并可以利用排序问题的下界证明其他问题的下界
l 在实现排序算法是很多工程问题即浮出水面
二、排序问题的形式化定义
输入：由n个数组成的一个序列<a1,a2,……,an>
输出：对输入序列的一个排列（重排）<a1’,a2’,……,an’>,使得a1’ ≤a2’ ≤……≤an’
【说明】在实际中，待排序的数很少是孤立的值，它们通常是成为激励的数据集的一个部分，每个记录有一个关键字key,是待排序的值，其他数据位卫星数据，它们通常以key为中心传递。
三、相关概念
1. 排序的稳定性：在待排序的文件中，若存在多个关键字相同的记录，经过排序后这些具有相同关键字的记录之间的相对次序保持不变，该排序方法是稳定的；若具有相同关键字的记录之间的相对次序发生变化，则称这种排序方法是不稳定的。
A. 稳定排序：插入排序、冒泡排序、鸡尾酒排序、计数排序、合并交换排序、归并排序、基数排序、桶排序、鸽巢排序
B. 不稳定排序：选择排序、堆排序、希尔排序、快速排序
2. 内部、外部排序：在排序过程中，若整个文件都是放在内存中处理，排序时不涉及数据的内、外存交换，则称之为内部排序(简称内排序)；反之，若排序过程中要进行数据的内、外存交换，则称之为外部排序。
3. 待排文件的常用存储方式：
A. 顺序表：对记录本身进行物理重排（即通过关键字之间的比较判定，将记录移到合适的位置
B. 链表：无须移动记录，仅需修改指针
C. 用顺序的方式存储待排序的记录，但同时建立一个辅助表：对辅助表的表目进行物理重排（即只移动辅助表的表目，而不移动记录本身）。
4. 影响排序效果的因素
A. 待排序的记录数目n
B. 记录的大小(规模)
C. 关键字的结构及其初始状态
D. 对稳定性的要求
E. 语言工具的条件
F. 存储结构
G. 时间和辅助空间复杂度等
四、排序算法的分类（内部排序）
1. 比较类排序：排序结果中各元素的次序基于输入元素间的比较
A. 比较排序算法的下界
比较排序可以被抽象为决策树。一棵决策树是一棵满二叉树，表示某排序算法作用于给定输入所做的所有比较，而忽略控制结构和数据移动。
在决策树中，对每个节点都注明i，j（1≤i，j≤n），
对每个叶节点都注明排列<π(1), π(2),……, π(n)>。排序算法的执行对应于遍历一条从根到叶节点的路径。在每个内节点作比较ai≤aj，其左子树决定ai≤aj之后的比较，其右子树决定ai＞aj之后的比较。当到达一个叶节点时排序算法就已经确定了顺序。要使排序算法能正确的工作，其必要条件是n个元素的n!种排列都要作为决策树的一个叶节点出现。在决策树中，从根到任意一个可达叶节点之间最长路径的长度（决策树的高度）表示对应的排序算法中最坏情况下的比较次数。对于一棵高度为h，具有l个可达叶节点的决策树有n! ≤l≤2h，则有h≥lg(n!)=Ω(nlgn)
B. 常见的比较类排序
a) 选择类排序：选择排序、堆排序
b) 插入类排序：插入排序、二叉插入、两路插入、希尔排序
c) 交换类排序：冒泡排序、鸡尾酒排序、合并交换排序、快速排序
d) 归并排序
2. 非比较类排序：计数排序、基数排序、桶排序、鸽巢排序
五、常用的排序算法
1. 比较类排序
A. 选择类排序
a) 选择排序（Selection Sort）——原地排序、不稳定排序
【思路】首先找出A中最小元素，并将其与A[0]中元素交换；接着找出A中次最小元素，并将其与A[1]中元素交换；对A中头n-1个元素继续这一过程
【代码】
#region 选择排序
/// <summary>
/// 选择排序
/// 最差时间复杂度 Θ(n²)
/// 最优时间复杂度 Θ(n²)
/// 平均时间复杂度 Θ(n²)
/// 原地排序
/// 【排序过程】
/// 1、首先在未排序序列中找到最小元素，存放到排序序列的起始位置
/// 2、然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小元素，然后放到排序序列末尾
/// 3、以此类推，直到所有元素均排序完毕。
/// </summary>
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
public static void SelectionSort(int[] Array)
{
for (int i = 0; i < Array.Length; i++)
{
for (int j = i + 1; j < Array.Length; j++)
{
if (Array[j] < Array[i])
{
Swap(ref Array[i], ref Array[j]);//交换数据
}
}
}
}
#endregion
【时间复杂度分析】选择排序的比较操作为n(n − 1) / 2次，交换操作介于0和n(n − 1) / 2次之间，故其时间复杂度为Θ(n2)
b) 堆排序（Heap Sort）
六、代码
【二叉堆】（二叉）堆数据结构是一种数组对象，可以被视为一棵完全二叉树。二叉堆有两种：大顶堆和小顶堆（最大堆和最小堆）。大顶堆中每个节点的值不大于其父节点的值，这样，堆中最大的元素就存放在根节点中。
【思路】首先将输入数组构造成大顶堆；由于数组中最大元素为A[0]，将其与A[n]交换使其达到最终正确位置；在堆中除去A[n]，并将A[1…n]保持为大顶堆；重复上述过程，直到堆大小降为2。
【代码】由思路知堆排序中应包含构造大顶堆和保持大顶堆子程序。MaxHeapify方法被用来保持大顶堆，其时间复杂度为O(lgn)
/// <summary>
/// 调整数组,保持大顶堆性质
/// </summary>
/// <param name="Array">待保持大顶堆的数组</param>
/// <param name="i">大顶堆的根</param>
/// <param name="HeapSize">堆的大小</param>
private static void MaxHeapify(int[] Array, int i, int HeapSize)
{
int left = i * 2;
int right = left + 1;
int largest;
if (left < HeapSize && Array[left] > Array[right])
{
largest = left;
}
else
{
largest = i;
}
if (right < HeapSize && Array[right] > Array[largest])
{
largest = right;
}
if (largest != i)
{
Swap(ref Array[i], ref Array[largest]);
MaxHeapify(Array, largest, HeapSize);
}
}
/// <summary>
/// 调整数组,保持大顶堆性质(迭代实现)
/// </summary>
/// <param name="Array">待保持大顶堆的数组</param>
/// <param name="i">大顶堆的根</param>
/// <param name="HeapSize">堆的大小</param>
private static void MaxHeapifyWithoutRecursive(int[] Array, int i, int HeapSize)
{
while (i <= HeapSize)
{
int left = i * 2;
int right = left + 1;
int largest;
if (left < HeapSize && Array[left] > Array[right])
{
largest = left;
}
else
{
largest = i;
}
if (right < HeapSize && Array[right] > Array[largest])
{
largest = right;
}
if (largest != i)
{
Swap(ref Array[i], ref Array[largest]);
i = largest;
}
else
{
return;
}
}
}
/// <summary>
/// 构造大顶堆
/// </summary>
/// <param name="Array">待构造大顶堆的数组</param>
private static void BuildMaxHeapify(int[] Array)
{
int HeapSize = Array.Length;
for (int i = (Array.Length - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
// MaxHeapify(Array, i, HeapSize); //递归实现
MaxHeapifyWithoutRecursive(Array, i, HeapSize); //迭代实现
}
}
堆排序代码如下：
【时间复杂度分析】调用BuildMaxHeap时间为O(n)，n-1次调用MaxHeapify，每次时间为O(lgn)，故堆排序时间复杂度为O(nlgn)
using System;
namespace Algorithms
{
public class Sort
{
static Random random = new Random();
#region 交换数据
/// <summary>
/// 交换数据
/// </summary>
/// <param name="a">待交换值a</param>
/// <param name="b">待交换值b</param>
/// <returns>是否成功</returns>
public static bool Swap(ref int a, ref int b)
{
if (!Equals(a, b))
{
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
return true;
}
else
{
return false;
}
}
#endregion
#region 交换类排序
#region 冒泡排序
/// <summary>
/// 冒泡排序（Bubble Sort）
/// </summary>
/// 最坏时间复杂度 O(n²)
/// 最优时间复杂度 O(n)
/// 平均时间复杂度 O(n²)
/// 原地排序
/// 不稳定排序
/// 【排序过程】
/// 1、比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。
/// 2、对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。在这一点，最后的元素应该会是最大的数。
/// 3、针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
/// 4、持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
public static void BubbleSort(int[] Array)
{
for (int i = 0; i < Array.Length; i++)
{
for (int j = Array.Length - 1; j > i; --j)
{
if (Array[j] < Array[j - 1])
{
Swap(ref Array[j], ref Array[j - 1]);
}
}
}
}
#endregion
#region 快速排序
/// <summary>
/// 快速排序划分
/// </summary>
/// <param name="Array">待分划的数组</param>
/// <param name="p">待分划数组下界</param>
/// <param name="r">待分划数组上界</param>
/// <returns>分划元素位置</returns>
private static int Partition(int[] Array, int p, int r)
{
int x = Array[r];
int i = p - 1;
for (int j = p; j < r; j++)
{
if (Array[j] <= x)
{
++i;
Swap(ref Array[i], ref Array[j]);
}
}
Swap(ref Array[i + 1], ref Array[r]);
return i + 1;
}
/// <summary>
/// 快速排序
/// </summary>
/// 最差时间复杂度 Θ(n²)
/// 最优时间复杂度 Θ(nlogn)
/// 平均时间复杂度 Θ(nlogn)
/// 原地排序
/// 非稳定排序
/// 【排序过程】
/// 1、从数列中挑出一个元素，称为 "基准"，
/// 2、分割：重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分割之后，该基准是它的最后位置。
/// 3、递归地把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
/// <param name="p">待排序数组下界</param>
/// <param name="r">待排序数组上界</param>
public static void QuickSort(int[] Array, int p, int r)
{
if (p < r)
{
int q = Partition(Array, p, r);
QuickSort(Array, p, q - 1);
QuickSort(Array, q, r);
}
}
/// <summary>
/// 快速排序划分(随机化)
/// </summary>
/// <param name="Array">待分划的数组</param>
/// <param name="p">待分划数组下界</param>
/// <param name="r">待分划数组上界</param>
/// <returns>分划元素位置</returns>
private static int RandomizedPartition(int[] Array, int p, int r)
{
int i = random.Next(p, r + 1);
Swap(ref Array[r], ref Array[i]);
return Partition(Array, p, r);
}
/// <summary>
/// 快速排序(随机化)
/// </summary>
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
/// <param name="p">待排序数组下界</param>
/// <param name="r">待排序数组上界</param>
public static void RandomizedQuickSort(int[] Array, int p, int r)
{
if (p < r)
{
int q = RandomizedPartition(Array, p, r);
RandomizedQuickSort(Array, p, q - 1);
RandomizedQuickSort(Array, q, r);
}
}
/// <summary>
/// Hoare划分
/// </summary>
/// <param name="Array">待分划的数组</param>
/// <param name="p">待分划数组下界</param>
/// <param name="r">待分划数组上界</param>
/// <returns>分划元素位置</returns>
private static int HoarePartition(int[] Array, int p, int r)
{
int x = Array[p];
int i = p - 1;
int j = r + 1;
while (true)
{
do
{
--j;
} while (Array[j] <= x);
do
{
++i;
} while (Array[i] >= x);
if (i < j)
{
int t = Array[i];
Array[i] = Array[j];
Array[j] = t;
}
else
{
return j;
}
}
}
#endregion
#endregion
#region 选择类排序
#region 选择排序
/// <summary>
/// 选择排序
/// 最差时间复杂度 О(n²)
/// 最优时间复杂度 О(n²)
/// 平均时间复杂度 О(n²)
/// 原地排序
/// 【排序过程】
/// 1、首先在未排序序列中找到最小元素，存放到排序序列的起始位置
/// 2、然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小元素，然后放到排序序列末尾
/// 3、以此类推，直到所有元素均排序完毕。
/// </summary>
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
public static void SelectionSort(int[] Array)
{
for (int i = 0; i < Array.Length; i++)
{
for (int j = i + 1; j < Array.Length; j++)
{
if (Array[j] < Array[i])
{
Swap(ref Array[i], ref Array[j]);
}
}
}
}
#endregion
#region 堆排序
/// <summary>
/// 调整数组,保持大顶堆性质
/// </summary>
/// <param name="Array">待保持大顶堆的数组</param>
/// <param name="i">大顶堆的根</param>
/// <param name="HeapSize">堆的大小</param>
private static void MaxHeapify(int[] Array, int i, int HeapSize)
{
int left = i * 2;
int right = left + 1;
int largest;
if (left < HeapSize && Array[left] > Array[right])
{
largest = left;
}
else
{
largest = i;
}
if (right < HeapSize && Array[right] > Array[largest])
{
largest = right;
}
if (largest != i)
{
Swap(ref Array[i], ref Array[largest]);
MaxHeapify(Array, largest, HeapSize);
}
}
/// <summary>
/// 调整数组,保持大顶堆性质(迭代实现)
/// </summary>
/// <param name="Array">待保持大顶堆的数组</param>
/// <param name="i">大顶堆的根</param>
/// <param name="HeapSize">堆的大小</param>
private static void MaxHeapifyWithoutRecursive(int[] Array, int i, int HeapSize)
{
while (i <= HeapSize)
{
int left = i * 2;
int right = left + 1;
int largest;
if (left < HeapSize && Array[left] > Array[right])
{
largest = left;
}
else
{
largest = i;
}
if (right < HeapSize && Array[right] > Array[largest])
{
largest = right;
}
if (largest != i)
{
Swap(ref Array[i], ref Array[largest]);
i = largest;
}
else
{
return;
}
}
}
/// <summary>
/// 构造大顶堆
/// </summary>
/// <param name="Array">待构造大顶堆的数组</param>
private static void BuildMaxHeapify(int[] Array)
{
int HeapSize = Array.Length;
for (int i = (Array.Length - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
// MaxHeapify(Array, i, HeapSize);
MaxHeapifyWithoutRecursive(Array, i, HeapSize);
}
}
/// <summary>
/// 堆排序
/// 最差时间复杂度 O(nlogn)
/// 最优时间复杂度 O(nlogn)
/// 平均时间复杂度 Θ(nlogn)
/// 原地排序
/// 不稳定排序
/// 【排序过程】
/// 1、建立一个大顶堆
/// 2、把堆首（最大值）和堆尾互换
/// 3、把堆的尺寸缩小1，并保持大顶堆
/// 4、重复2号步骤，直到堆的尺寸为1
/// </summary>
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
public static void HeapSort(int[] Array)
{
int HeapSize = Array.Length;
BuildMaxHeapify(Array);
for (int i = Array.Length - 1; i > 0; i--)
{
int t;
t = Array[0];
Array[0] = Array[i];
Array[i] = t;
MaxHeapifyWithoutRecursive(Array, 0, --HeapSize);
//MaxHeapify(Array, 0, --HeapSize);
}
}
#endregion
#endregion
#region 插入类排序
#region 插入排序
/// <summary>
/// 插入排序(非递归算法)
/// 平均时间复杂度 Θ(n²)
/// 原地排序
/// 稳定排序
/// 【排序过程】
/// 1、从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序
/// 2、取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描
/// 3、如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置
/// 4、重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置
/// 5、将新元素插入到该位置中
/// 6、重复步骤2
/// </summary>
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
public static void InsertionSort(int[] Array)
{
for (int j = 1; j < Array.Length; j++)
{
int key = Array[j];
int i = j - 1;
while (i >= 0 && Array[i] > key)
{
Array[i + 1] = Array[i];
--i;
}
Array[i + 1] = key;
}
}
/// <summary>
/// 插入排序(递归算法)
/// </summary>
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
/// <param name="length">要排序的长度</param>
public static void InsertionSort(int[] Array, int length)
{
if (length == 0)
{
return;
}
else
{
InsertionSort(Array, length - 1);
}
int key = Array[length];
while (Array[length] >= key)
{
Array[length + 1] = Array[length];
--length;
}
Array[length] = key;
}
#endregion
#region Shell排序
/// <summary>
/// Shell排序（递减增量排序）
/// </summary>
/// 【排序过程】
/// 1、取一个小于n的整数d1作为第一个增量，把文件的全部记录分成d1个组。所有距离为d1的倍数的记录放在同一个组中。
/// 2、先在各组内进行直接插入排序；
/// 3、然后，取第二个增量d2＜d1重复上述的分组和排序，直至所取的增量dt=1(dt＜dt-1＜…＜d2＜d1)为止。
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
public static void shellsort(int[] Array)
{
int temp;
int increment; //增量
int length = Array.Length;
for (increment = length / 2; increment > 0; increment /= 2)
{
for (int i = increment; i < length; ++i)
{
int j;
temp = Array[i];
for (j = i; j >= increment; j -= increment)
{
if (temp < Array[j - increment])
Array[j] = Array[j - increment];
else
break;
}
Array[j] = temp;
}
}
}
#endregion
#endregion
#region 归并类排序
#region 归并排序
/// <summary>
/// 归并数组(使用哨兵)
/// <para>归并数组Array[lower,mid]与Array[mid+1,upper]</para>
/// </summary>
/// <param name="Array">待归并的数组</param>
/// <param name="lower">待归并数组下界</param>
/// <param name="mid">待归并数组分界</param>
/// <param name="upper">待归并数组上界</param>
private static void MergeWithSentinel(int[] Array, int lower, int mid, int upper)
{
int n1 = mid - lower + 1;
int n2 = upper - mid;
int[] L = new int[n1 + 1];
int[] R = new int[n2 + 1];
int i = 0;
int j = 0;
for (i = 0; i < n1; i++)
{
L[i] = Array[lower + i];
}
for (i = 0; i < n2; i++)
{
R[i] = Array[mid + i + 1];
}
L[n1] = R[n2] = int.MaxValue;
i = 0;
for (int k = lower; k < upper; k++)
{
if (L[i] < R[j])
{
Array[k] = L[i++];
}
else
{
Array[k] = R[j++];
}
}
}
/// <summary>
/// 归并数组(不使用哨兵)
/// <para>归并数组Array[lower,mid]与Array[mid+1,upper]</para>
/// </summary>
/// <param name="Array">待归并的数组</param>
/// <param name="lower">待归并数组下界</param>
/// <param name="mid">待归并数组分界</param>
/// <param name="upper">待归并数组上界</param>
private static void Merge(int[] Array, int lower, int mid, int upper)
{
int n1 = mid - lower + 1;
int n2 = upper - mid;
int[] L = new int[n1];
int[] R = new int[n2];
int i = 0;
int j = 0;
for (i = 0; i < n1; i++)
{
L[i] = Array[lower + i];
}
for (i = 0; i < n2; i++)
{
R[i] = Array[mid + i + 1];
}
i = 0;
for (int k = lower; k < upper; k++)
{
if (L[i] < R[j])
{
Array[k] = L[i++];
}
else
{
Array[k] = R[j++];
}
if (i == n1)
{
while (j < n2)
{
Array[++k] = R[j++];
}
}
if (j == n2)
{
while (i < n1)
{
Array[++k] = L[i++];
}
}
}
}
/// <summary>
/// 归并排序
/// </summary>
/// 最差时间复杂度 Θ(nlogn)
/// 最优时间复杂度 Θ(n)
/// 平均时间复杂度 Θ(nlogn)
/// 非原地排序
/// 稳定排序
/// 【排序过程】
/// 1、申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
/// 2、设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
/// 3、比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
/// 4、重复步骤3直到某一指针达到序列尾
/// 5、将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
/// <param name="lower">待排序数组下界</param>
/// <param name="upper">待排序数组上界</param>
public static void MergeSort(int[] Array, int lower, int upper)
{
if (lower < upper)
{
int mid = (lower + upper) / 2;
MergeSort(Array, lower, mid);
MergeSort(Array, mid + 1, upper);
Merge(Array, lower, mid, upper);
}
}
#endregion
#endregion
#region 非比较类排序
#region 计数排序
/// <summary>
/// 获取数组最大数
/// </summary>
/// <param name="Array">要取最大数的数组</param>
/// <returns>数组最大数</returns>
private static int GetLargest(int[] Array)
{
int largest = 0;
foreach (var i in Array)
{
if (largest < i)
{
largest = i;
}
}
return largest;
}
/// <summary>
/// 计数排序
/// </summary>
/// <param name="Array">待排序的数组</param>
public static void CountingSort(int[] Array)
{
int largest = GetLargest(Array) + 1;
int[] B = new int[Array.Length];
int[] C = new int[largest];
for (int i = 0; i < largest; i++)
{
C[i] = 0;
}
for (int j = 0; j < Array.Length; j++)
{
++C[Array[j]];
}
for (int i = 1; i < largest; i++)
{
C[i] += C[i - 1];
}
for (int j = Array.Length - 1; j >= 0; --j)
{
B[C[Array[j]] - 1] = Array[j];
C[Array[j]] = C[Array[j]] - 1;
}
for (int i = 0; i < Array.Length; i++)
{
Array[i] = B[i];
}
}
#endregion
#endregion
}
}
原文链接：http://www.cnblogs.com/kingwolfofsky/archive/2011/07/23/2115129.html
附：自己的一个随机排序
// 随机排序一维数组
private void RandomSort(Integer[] arr) {
int temp = 0;
int rand = 0;
int tempLen = arr.length;
// 将数组进行随机排序
for (int i = 0; i < tempLen; i++) {
rand = (int) (Math.random() * tempLen) + i;
if (rand >= tempLen) {
rand = tempLen - 1;
}
temp = arr[i];
arr[i] = arr[rand];
arr[rand] = temp;
}
}