广义二项级数 & 广义指数级数 学习笔记

参考文章 ,ei & qwaszx tsdy!

感觉 "参考文章" 中有些地方的描述有点奇怪或证明相对麻烦,于是就有了这篇 blog

广义二项级数

定义广义二项级数如下:

[mathcal{B}_t(z) = sumlimits_{n ge 0} inom{tn + 1}{n} frac{z^n}{tn + 1} ]

结论

[mathcal{B}_t(z) = zmathcal{B}_t(z)^t+1 qquad(1) ]

[mathcal{B}_t(z)^r = sumlimits_{n ge 0} inom{tn + r}{n} frac{r}{tn + r} z^n qquad(2) ]

[frac{mathcal{B}_t(z)^r}{1 - t + t mathcal{B}_t(z)^{-1}} = sumlimits_{n ge 0} inom{tn + r}{n} z^n qquad(3) ]

证明

证明 (1)

设函数 (F(z), G(z))(F(z) = z (F(z) + 1)^t)(G(z))(F(z)) 的复合逆。

那么 (F(G(z)) = G(z) (F(G(z)) + 1)^{t})(z = G(z) (z+1)^{t})(G(z) = frac{z}{(z+1)^t})

根据拉格朗日反演得到:

[[z^n] F(z) = frac{1}{n} [z^{n - 1}] (frac{z}{G(z)})^{n} = frac{1}{n} [z^{n-1}] (z+1)^{nt} = inom{nt}{n - 1} ]

[F(z) + 1 = 1 + sumlimits_{n ge 1} frac{z^n}{n} inom{nt}{n - 1} = sumlimits_{n ge 0} inom{nt+1}{n} frac{z^n}{nt+1} = mathcal{B}_t(z) ]

然后就证明了 (mathcal{B}_t(z) = mathcal{B}_t(z)^t + 1)

(你会发现这东西就是 LuoguP2767,套个 Lucas 就可以过掉那题了)

证明 (2)

(n = 0) 时正确性是显然的,现在考虑 (n > 0)

设函数 (F(z), G(z))(F(z) = z (F(z) + 1)^t)(G(z))(F(z)) 的复合逆。

(H(z) = (z + 1)^r),那么拓展拉格朗日反演得

[[z^n]mathcal{B}_t(z)^r = [z^n] H(F(z)) = frac{1}{n} [z^{n-1}] H(z)' (frac{z}{G(z)})^{n} = frac{1}{n} [z^{n-1}] (z+1)^{r-1} (z+1)^{nt} = frac{inom{nt+r-1}{n - 1}}{n} = frac{inom{nt+r}{n}}{nt+r} ]

证明 (3)

仍然设函数 (F(z), G(z))(F(z) = z (F(z) + 1)^t)(G(z))(F(z)) 的复合逆。

(H(z) = frac{(1 + z)^r}{1 - t + t (z + 1)^{-1}})。这里用 EI 鸽鸽发明的另类拉格朗日反演会更方便。

[[z^n] frac{mathcal{B}_t(z)^r}{1 - t + t mathcal{B}_t(z)^{-1}} = [z^n] H(F(z)) = [z^n] H(z) (frac{z}{G(z)})^{-n-1} G'(z) ]

[[z^n] frac{(1 + z)^{r+1}}{1 + z - t z} (1+z)^{(n+1)t} frac{1 + z - tz}{(1+z)^{t+1}} ]

[[z^n] (1 + z)^{r+nt} ]

[inom{nt+r}{n} ]

广义指数级数

定义广义二项级数如下:

[mathcal{E}_t(z) = sumlimits_{n ge 0} (tn+1)^{n-1} frac{z^n}{n!} ]

鸽了!!!!!1

原文地址:https://www.cnblogs.com/zkyJuruo/p/14872991.html