设 $X$ 是线性空间, $phi_1,cdots,phi_n,phi$ 是 $X$ 上的线性泛函, 试证: $$ex phiin spansed{phi_1,cdots,phi_n} lra cap_{k=1}^n ker phi_isubset ker phi. eex$$
证明: $ a$: $$eex ea &quad phiin spansed{phi_1,cdots,phi_n}\ & a phi=sum c_kphi_k\ & a phi(x)=sum c_kphi_k(x)=0,quad forall xincap_{k=1}^nker phi_k. eea eeex$$ $la$: 用反证法. 若 $phi otin spansed{phi_1,cdots,phi_n}$, 则由 Hahn-Banach 定理, 存在 $xin X=X^{**}$, 使得 $$ex sef{x_0,phi}=1,quad sef{x_0,phi_k}=0,quad k=1,cdots,n. eex$$ 于是 $$ex x_0incap_{k=1}^n ker phi_k,quad x_0 otin ker phi. eex$$