调和级数发散的简短证明

定理 调和级数 $$vsm{n}frac{1}{n}$$ 发散.

证 若不然. 令 $S=vsm{n}frac{1}{n}<infty$, 则

$$vsm{n}frac{(-1)^n}{n}=S-2vsm{n}frac{1}{n}=S-S=0.$$

这与

$$vsm{n}frac{1}{n}=sex{1-frac{1}{2}}+sex{frac{1}{3}-frac{1}{4}}+cdots>0$$ 

矛盾. 故调和级数 $vsm{n}frac{1}{n}$ 发散.

类似可证: 若  $0<al<1$, 则级数 $vsm{n}frac{1}{n^al}$ 发散.

来自Hansschwarzkopf

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