【机器学习之数学】01 导数、偏导数、方向导数、梯度

最近学习《最优化导论》，遇到了“方向导数”这一概念，故对其及相关概念进行一遍梳理。并给出方向导数的推导过程。

导数、偏导数和方向导数
方向导数的推导过程
方向导数和梯度
References
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导数、偏导数和方向导数

在一元可导函数 (y = f(x)) 中，导数 (f'(x_0)) 即是曲线上 (x = x_0) 处的斜率。按照定义求导数：

[f'(x) = lim_{Delta x o 0}frac{f(x+ Delta x) - f(x)}{Delta x} ag{1} ]

当然，我们也可以通过各种求导法则来计算导数。

对一个 (R^m o R) 的多元可导函数，(y=f(m x),m x = [x_1, x_2, ..., x_m]^ op)，我们能够求的导数就多，如偏导数、方向导数，但归根到底，这些导数都可以认为是曲面上一点在某个方向的斜率。对于 (mle 2) 的情况，我们还能够通过坐标系很直观地了解；当 (m > 2) 时，我们可以从向量空间的角度理解。

偏导数是指 (y=f(m x)) 对 (m x = [x_1, x_2, ..., x_m]^ op) 中的某一维进行求导，如下式（2）所示，对第 (i) 维求偏导数：

[egin{split} frac{partial f(m x)}{partial x_i} &= frac{partial f(x_1, x_2, ...,x_i,..., x_m)}{partial x_i} \ &= lim_{Delta x_i o 0}frac{f(x_1, x_2, ...,x_i + Delta x_i,..., x_m) - f(x_1, x_2, ...,x_i,..., x_m)}{Delta x_i} end{split} ag{2} ]

方向导数就更好理解了，(y=f(m x)) 对 (m x = [x_1, x_2, ..., x_m]^ op) 构成的向量空间 (R^m) 中某一方向 (m d' = [Delta x_1, Delta x_2, ..., Delta x_m]^ op) 求导数，即得到该方向上的方向导数 (frac{partial f(m x)}{partial m d'})，如式（3）所示：

[egin{split} frac{partial f(m x)}{partial m d'} &= frac{partial f(x_1, x_2,..., x_m)}{partial x_i} \ &= lim_{ ho o 0}frac{f(x_1 + Delta x_1, x_2 +Delta x_2, ..., x_m +Delta x_m) - f(x_1, x_2, ..., x_m)}{ ho} \ & ho = sqrt{Delta x_1^2 + Delta x_2^2 + cdots +Delta x_m^2} end{split} ag{3} ]

方向导数和偏导数是什么关系？对于多元可导函数 (y=f(m x),m x = [x_1, x_2, ..., x_m]^ op)，在其上任一点 (m x_i)，我们都可以在向量空间 (R^m) 中的每一个方向都可以计算一个方向导数，也就是超平面上点 (m x_i) 在每一个方向切线的“斜率”。这里“每一个方向”自然包括各个偏导数的方向。即偏导数构成的集合 A 是方向导数构成集合 B 的子集。

方向导数的推导过程

(f(oldsymbol x)) 是一个 (R^m o R) 的函数，如果我们要求 (f(oldsymbol x)) 在任一点 (oldsymbol x_0 = [x_1^{0}, x_2^{0}, ..., x_m^{0}]^ op) 点方向为 (oldsymbol d) 的方向导数，那么按照定义，我们得到如下公式：

[frac{partial f(oldsymbol x)}{partial oldsymbol d}mid_{oldsymbol x = oldsymbol x_0} = lim_{alpha o 0}frac{f(oldsymbol x_0 + alpha oldsymbol d) - f(oldsymbol x_0)}{alpha} ag{4} ]

式（4）中，(oldsymbol d) 为单位向量。公式（4）其实是公式（3）的向量形式。（plus：公式（3）中 (d') 不是单位向量，故加上 (') 来区分）

设 (g(alpha) = f(x_0+alpha oldsymbol d))，我们注意到，(g(0) = f(x_0))，所以，式（4）又可以写为：

[egin{split} frac{partial f(oldsymbol x)}{partial oldsymbol d}mid_{oldsymbol x = oldsymbol x_0} & = lim_{alpha o 0}frac{g(alpha) - g(0)}{alpha} \ &= frac{d g(alpha)}{d alpha}mid_{alpha = 0} \ &= frac{d f(oldsymbol x_0+alpha oldsymbol d)}{d alpha}|_{alpha = 0} \ &= abla f(oldsymbol x_0)^ opoldsymbol d \ &= < abla f(oldsymbol x_0), oldsymbol d> \ &= oldsymbol d^ op abla f(oldsymbol x_0) end{split} ag{5} ]

所以，

[frac{partial f(oldsymbol x)}{partial oldsymbol d}= oldsymbol d^ op abla f(oldsymbol x) ag{6} ]

方向导数和梯度

首先明确，导数是一个值，代表切线的斜率，而梯度是一个向量。最大方向导数的方向就是梯度代表的方向。

梯度是 (f(m x)) 对各个自变量(m x = [x_1, x_2, ..., x_m]^ op) 每一维分别求偏导数得到的向量。

从式（5）和（6）中我们也可以知道，当 (m d = frac{ abla f(m x)}{| abla f(m x)|})，方向导数最大。 最大方向导数的方向就是梯度，最大的方向导数就是梯度的欧几里德范数。

References

如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系？-- 马同学
 方向导数与梯度——学习笔记 -- Reclusiveman
[机器学习] ML重要概念：梯度（Gradient）与梯度下降法（Gradient Descent）-- WangBo_NLPR
Edwin K. P. Chong, Stanislaw H. Zak-An Introduction to Optimization, 4th Edition