平移变换
- 左右平移的实质,是用(x+phi)替换(x),故将(y=f(x))左右平移得到的应该是(y=f(xpm h)),而不是(f(x)pm h);上下平移的实质,是用(y+phi)替换(y),故将(y=f(x))上下平移得到的应该是(f(x)pm h),而不是(y=f(xpm h));
- 【案例1】函数(f(2-x))的图像的做法,是将函数(f(x))的图像关于(y)轴对称得到函数(f(-x)),然后将(f(-x))图像向右平移(2)个单位,得到(y=f[-(x-2)]=f(2-x))的图像。
注意:左加右减的口诀是使用在变换的实质(x-2)上,而不是使用在自变量整体(2-x)上。图像变换如下:
【案例2】作函数(y=f(x)=2^{|x-1|}-1)的图像。
做法:我们选(y=2^x)为变换的基础图像,
①先由(y=2^xxrightarrow{f(x) ightarrow f(|x|)}y=2^{|x|}),
②然后由(y=2^{|x|}xrightarrow{f(x) ightarrow f(x-1)}y=2^{|x-1|})
③然后由(y=2^{|x-1|}xrightarrow{f(x) ightarrow f(x)-1}y=2^{|x-1|}-1)
对称变换
①(y=f(x)xrightarrow{关于x轴对称}y=-f(x));
②(y=f(x)xrightarrow{关于y轴对称}y=f(-x));
③(y=f(x)xrightarrow{关于原点对称}y=-f(-x));
④(y=a^x(a>0且a eq 1)xrightarrow{关于y=x对称}y=log_ax);
伸缩变换
①(y=f(x)) (xrightarrow[当0< a <1时,横坐标伸长为原来的frac{1}{a}倍,纵坐标不变]{当a >1时,横坐标缩短为原来的frac{1}{a}倍,纵坐标不变}) (y=f(ax));
②(y=f(x)) (xrightarrow[当0< a <1时,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变]{当a >1时,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变}) (y=af(x));
翻折变换
①(y=f(x)) (xrightarrow[将x轴下方图像翻折上去]{保留x轴上方图像}) (y=|f(x)|);
②(y=f(x)) (xrightarrow[关于y轴对称图像]{保留y轴右边图像,并作其}) (y=f(|x|));
③(y=f(x)) (xrightarrow[关于y轴对称图像]{保留y轴左边图像,并作其}) (y=f(-|x|));
常用结论
关于对称的几个重要结论:
①[两个函数对称]函数(y=f(x))与函数(y=f(2a-x))的图像关于直线(x=a)对称;
②[两个函数对称]函数(y=f(x))与函数(y=2b-f(2a-x))的图像关于点((a,b))中心对称;
③[一个函数对称]若函数(y=f(x))的定义域内任意自变量(x)满足:(f(a+x)=f(a-x)),则函数(f(x))的图像关于直线(x=a)对称;
④[一个函数对称]若函数(y=f(x))的定义域内任意自变量(x)满足:(f(a+x)=2b-f(a-x)),则函数(f(x))的图像关于点((a,b))中心对称;
利用相关点法可以解释或证明。
具体实战
分析:研究函数的性质,首先研究定义域;
令(cfrac{1+x}{1-x}>0),解得(-1<x<1),故定义域为((-1,1));
由于子函数(y=sinx)在((-1,1))上单调递增,故接下来重点研究子函数(y=lncfrac{1+x}{1-x})的单调性,
又由于子函数为复合函数,外函数为增函数,故令内函数为(g(x)=cfrac{1+x}{1-x}),重点研究内函数的单调性,
此时使用图像就是比较好的选择,为快速做出图像,先作适当的变换;
(g(x)=cfrac{1+x}{1-x}=-1+cfrac{2}{1-x}=-1-cfrac{2}{x-1}),我们按照下述步骤作函数(g(x))的图像,
①(y=cfrac{2}{x}xrightarrow{f(x) ightarrow f(x-1)}y=cfrac{2}{x-1}),
②(y=cfrac{2}{x-1}xrightarrow{f(x) ightarrow -f(x)}y=-cfrac{2}{x-1}),
③(y=-cfrac{2}{x-1}xrightarrow{f(x) ightarrow f(x)-1}y=-1-cfrac{2}{x-1}),
这样我们由图像能看出来,函数(g(x))在((-1,1))上单调递增,则子函数(y=lncfrac{1+x}{1-x})在((-1,1))上单调递增,
故函数(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)在区间((-1,1))上单调递增,到此单调性的判断结束。
当然,还可以借助导数判断其单调性,由于本博文主题的限制,在此不做赘述。
补充,(f(x)=e^x+e^{2-x}),则(f(x)=f(2-x)),则函数(f(x))关于直线(x=1)对称。
典例剖析
分析:(g(x)=lnx),则(f(x)=ln(-x)),若(f(m)=-1),则(ln(-m)=-1),故(m=-cfrac{1}{e}),故选(B).
分析:函数(f(2x+1))是奇函数,则其对称中心为((0,0)),而将(f(2x+1))的图像向右平移(cfrac{1}{2})个单位[即用(x-cfrac{1}{2})替换(x)后整理得到]得到函数(f(2x)),即将((0,0))向右平移(x-cfrac{1}{2})后得到对称中心为点((cfrac{1}{2},0)) ,故选(C)。
分析:将函数(y=f(x))的图像关于(y)轴对称得到函数(y=f(-x)),故(y=f(-x))一定经过点((-1,1)),再将函数(y=f(-x))的图像向右平移(4)个单位,得到函数(y=f(4-x))的图像,故函数(y=f(4-x))的图像一定经过点((3,1)).
分析:由题目可知,(T=4),故(f(x+4)=f(x)),又(f(-x)=f(x)),则可知(f(x+4)=f(-x)),故函数图像关于(x=2)对称,
利用现有的定义域,奇偶性,周期性,对称性和解析式,做出适合题意的图像如下:
要是方程(f(x)=log_ax)有三个不同的实根,则需要满足(left{egin{array}{l}{a>1}\{log_a6<2}\{log_a10>2}end{array} ight.),即(left{egin{array}{l}{a>1}\{a^2>6}\{a^2<10}end{array} ight.),
解得(ain (sqrt{6},sqrt{10}))。
分析:做出适合题意的图像,由图像可知,函数(f(x))的值域为([-1,1]),
完整的偶函数(g(x))的解析式应该为(g(x)=log_2|x|),若存在实数(a),使得(f(a)=g(b)),
则(g(b))必须满足(-1leqslant g(b)leqslant 1),即(-1leqslant log_2|b|leqslant 1),
上式可以转化为(left{egin{array}{l}{bgeqslant 0}\{-1leqslant log_2bleqslant 1}end{array} ight.)或者(left{egin{array}{l}{b<0}\{-1leqslant log_2(-b)leqslant 1}end{array} ight.)
解得(cfrac{1}{2}leqslant bleqslant 2)或(-2leqslant bleqslant -cfrac{1}{2}) . 故选(B).
分析:函数(f(x)=log_2(x+1))的图像向右平移一个单位,所得函数为(y=log_2x),其关于直线(y=x)对称的函数为(g(x)=2^x),
则得到(xin [0,1])时,(h(x)=g(x)-1=2^x-1),又由于(h(x))为偶函数,则(h(-x)=h(x))①,
又(h(x-1)=h(-x-1)),则(h(x)=h(-x-2))②,由①②得到,(h(-x-2)=h(-x)),即(T=2),
又函数(y=kcdot f(x)-h(x))有五个零点,则函数(y=kcdot f(x))与函数(y=h(x))的图像有五个交点,做出图像如下,
由图像可知,需要满足条件(left{egin{array}{l}{kcdot log_2(3+1)<1}\{kcdot log_2(5+1)>1}end{array} ight.)
即(left{egin{array}{l}{2k<1}\{kcdot log_26>1}end{array} ight.) 解得(log_62<k<cfrac{1}{2}),故选(C)。