求解函数不等式[给定抽象函数]

前言

重新编辑于2019年10月13日。

求解抽象函数不等式，本质隶属于函数性质的综合应用类型，其中最基本的性质往往缺少不了定义域，单调性；再往上可能需要函数的奇偶性；再往上可能会用到构造函数；

解后反思

解抽象函数不等式的一般步骤：

①(定性)确定函数(f(x))在给定区间上的单调性；

②(转化)将抽象函数不等式转化为(f(M)<f(N))的形式；

③(脱去(f))利用单调性去掉函数符号(large{f})，转化为一般的不等式(组)；

④(求解)求解上述的不等式组；

⑤(反思)反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范。OK!

引入模型

用下面的例子体会抽象函数不等式的基本模型(f(M)>f(N)) 的引入过程：

引例解不等式(log_2(3x+1)>log_2(1-2x))，

分析：由于我们是借助函数(y=log_2x)的单调性来解不等式，

则需要先考虑定义域，以保证让不等式的两端都有意义，

故利用函数的定义域和单调性，可以等价转化得到不等式组：(left{egin{array}{l}{3x+1>0}\{1-2x>0}\{3x+1>1-2x}end{array} ight.)

解得，解集为((0，cfrac{1}{2}))。

初次抽象

从本例子开始，我们就看不到其中的函数解析式了。

例1已知函数(f(x))的定义域为((0，+infty))，且单调递增，求解不等式(f(3x+1)>f(1-2x))，

分析：如果我们要给本题目的抽象函数找一个依托，那么(y=log_2x)绝对是个比较好的例子，

故碰到这样的题目，我们需要考虑定义域和单调性，

可以等价转化为(left{egin{array}{l}{3x+1>0}\{1-2x>0}\{3x+1>1-2x，}end{array} ight.) 解得，解集为(xin (0，cfrac{1}{2}))。

增加难度

说明：定义域上的单调性没有直接给出，需要我们借助奇偶性自行推导。

例2已知奇函数(f(x))的定义域为([-2，2])，且在区间([0，2])单调递增，求解不等式(f(3x+1)>f(1-2x))，

分析：由区间([0，2])单调递增，和奇函数可知，则函数在区间([-2，0])上单调递增，

故函数(f(x))在区间([-2，2])单调递增，

再由定义域和单调性可知(left{egin{array}{l}{-2leq 3x+1leq 2}\{-2leq 1-2xleq 2}\{3x+1>1-2x}end{array} ight.)

解集，略。

添加奇偶

说明：给出的不等式需要我们结合奇偶性，转化为(f(M)>f(N))的形式，以便于能利用单调性。若是偶函数，则务必记住使用(f(x)=f(|x|))，可以避免分类讨论。

例3已知奇函数(f(x))的定义域为([-2，2])，且在区间([-2，2])单调递增，求解不等式(f(3x+1))(+f(2x-1)>0)

分析：先将不等式转化为(f(3x+1)>-f(2x-1))，

由于函数(f(x))为奇函数，则(-f(2x-1)=f[-(2x-1)]=f(1-2x))，

则上述不等式再次转化为(f(3x+1)>f(1-2x))，

再由定义域和单调性可知，原不等式等价于(left{egin{array}{l}{-2leq 3x+1leq 2}\{-2leq 1-2xleq 2}\{3x+1>1-2x}end{array} ight.)

解集，略。

例4已知函数(f(x))的定义域为(|x|leq 1)的补集，且在定义域上恒有(f(-x)-f(x)=0)，若(f(x))在((1，+infty))上恒有(f'(x)>0)成立，(f(x)-f(2x-1)<0)，求实数(x)的取值范围。

分析：函数的定义域为(|x|>1)，为偶函数，且在((1，+infty))上单调递增，

故由(f(x)-f(2x-1)<0)，等价转化为(f(|x|)<f(|2x-1|))，

接下来由定义域和单调性二者限制得到，

(left{egin{array}{l}{|x|>1}\{|2x-1|>1}\{|x|<|2x-1|}end{array} ight.) 上式等价于(left{egin{array}{l}{|x|>1①}\{|x|<|2x-1|②}end{array} ight.)

解①得到，(x<-1)或(x>1)；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到(x<cfrac{1}{3})或(x>1)；

二者求交集得到，(x<-1)或(x>1)，

即实数(x)的取值范围是((-infty，-1)cup(1，+infty))。

常数函数化

将抽象不等式的一侧的函数(f)化，其目的是为了构造(f(M)>f(N))的形式，以便于下一步利用单调性去掉对应法则的符号(f)。

例5【2016南京模拟改编】(f(x))是定义在((0，+infty))上的单调增函数，满足(f(xy)=f(x)+f(y))，(f(3)=1)，当(f[x(x-8)]leqslant 2)时，求(x)的取值范围。

分析：先将右侧的常数(2)函数化，(2=1+1=f(3)+f(3)=f(3 imes3)=f(9))，

故原不等式(f[x(x-8)]leq 2=f(9))等价转化为(egin{cases}xcdot (x-8)>0\x(x-8)leqslant 9end{cases})，

解得(-1leqslant x<0)或(8<xleqslant 9).

例6已知函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，且对任意实数(m，n)都满足(f(m)+f(n-m)=f(n))，若(f(1)=-1)，则满足(-1leq f(x-1)leq 1)的(x)的取值范围是【】

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

分析：先用赋值法确定函数的奇偶性，

令(m=n=0)，得到(f(0)+f(0-0)=f(0))，则(f(0)=0)，

再令(n=0)，得到(f(m)+f(-m)=f(0)=0)，即(f(-m)=-f(m))，

即函数(f(x))为奇函数，故由(f(1)=-1)，得到(f(-1)=1)，

这样原不等式(-1leq f(x-1)leq 1)可变形为(f(1)leq f(x-1)leq f(-1))，

又由于函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，

则去掉对应法则的符号得到，(-1leq x-1leq 1)，

解得(0leq xleq 2)，故选(C)。

抽象运算

当给定的函数不等式中，出现了三个(f)时，需要将其中两个使用给定的运算法则浓缩为一个(f)，将其朝(f(M)>f(N))的形式转化。

例7【2016南京模拟】(f(x))是定义在((0，+infty))上的单调增函数，满足(f(xy)=f(x)+f(y))，(f(3)=1)，当(f(x)+f(x-8)leqslant 2)时，求(x)的取值范围。

分析：先将右侧的常数(2)函数化，(2=1+1=f(3)+f(3)=f(3 imes3)=f(9))，

而左侧的(f(x)+f(x-8))需要融合为一个(f)的形式，此时需要逆用到题目中的(f(xy)=f(x)+f(y))，即(f(x)+f(y)=f(xy))，

故(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)])，则原不等式等价于(f[x(x-8)]leqslant f(9))，

等价转化为(egin{cases}x>0\x-8>0\x(x-8)leq 9end{cases})，解得(8<xleq 9)。解惑^[1]

解后反思：本题目若由(f[x(x-8)]leqslant f(9))转化得到(egin{cases}x(x-8)>0\x(x-8)leq 9end{cases})，
这样的转化往往是不等价的，在求定义域时一般需要针对原始的式子作限制，否则容易出错。
因为本题目中的定义域应该是(x>0)且(x-8>0)，而(x(x-8)>0)包含了(x>0，x-8>0)和(x<0，x-8<0)两种情形，
由此我们可以得到的经验是：求定义域是一般对函数的形式不做变形，

因为我们大多做不到等价变形；比如给定函数(y=lgx^2)，我们常常会化为(y=2lgx)，殊不知这样的变形是错误的，
(y=lgx^2)的定义域是((-infty，0)cup(0，+infty))，还是偶函数，而(y=2lgx)的定义域是((0，+infty))，没有奇偶性，
其实(y=lgx^2=2lg|x|)，有人就纳闷了，我们平时不是经常用公式(log_a;b^n=nlog_a;b)，
对，没错，但是你注意过公式中的字母取值吗？

构造函数

例8【需要构造函数】若(alpha，etain [-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}])，且(alphacdot sinalpha-etacdot sineta>0)，则下列结论正确的是【】

$A.alpha > eta$ $B.alpha+eta > 0$ $C.alpha < eta$ $D.alpha^2 > eta^2$

分析：由(alphacdot sinalpha-etacdot sineta>0)，得到(alphacdot sinalpha>etacdot sineta)，左右两边的结构一模一样，故联想到构造函数

令(g(x)=xcdot sinx)，则上述条件可表述为(g(alpha)>g(eta))，要去掉符号(g)，我们就得研究函数的性质，尤其是奇偶性和单调性。

由于函数(g(-x)=(-x)cdot sin(-x)=xcdot sinx=g(x))，故函数(g(x))为偶函数；

当(xin[0，cfrac{pi}{2}])，(g(x)=xcdot sinx)单调递增，^[2]

原因一：(xin[0，cfrac{pi}{2}])时，(y=x>0)且单调递增，(y=sinx>0)且单调递增，故(g(x))在(xin[0，cfrac{pi}{2}])上单调递增；
原因二：导数法，(g'(x)=sinx+xcdot cosx)，当(xin[0，cfrac{pi}{2}])时，(g'(x)>0)，故(g(x))在(xin[0，cfrac{pi}{2}])上单调递增；
综上，函数(g(x))在([-cfrac{pi}{2}，0])上单调递减，在(xin[0，cfrac{pi}{2}])上单调递增。

利用偶函数的性质，将(g(alpha)>g(eta))等价转化为(g(|alpha|)>g(|eta|))，

故(|alpha|>|eta|)，则有(alpha^2>eta^2)，选(D)。

例9【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第16题】已知定义在实数集(R)上的函数(f(x))满足(f(1)=4)，且(f(x))的导函数(f'(x)<3)，则不等式(f(lnx)>3lnx+1)的解集为______。

分析：我们先用整体思想将需要求解的不等式中的(lnx)理解为一个整体，这样原不等式就变形为(f(t)>3t+1)，

此时我们用(左-右)，做差构造新函数。【为什么这样构造？带着问题继续往下看】

令(g(x)=f(x)-3x-1)，于是(g'(x)=f'(x)-3)，由已知条件(f'(x)<3)，则可知(g'(x)<0)，

这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性，即函数(g(x))在(R)上单调递减，

又(g(1)=f(1)-3 imes 1-1=f(1)-4=0)，

到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质，在(R)上单调递减，且有唯一的零点为(x=1)，

故由(g(x)>0)可以得到解为(x<1)，由(g(x)<0=g(1))可以得到解为(x>1)，

现在(f(lnx)>3lnx+1)等价于(g(lnx)>0)，故得到(lnx<1)，

解得(0<x<e)，故解集为((0，e))。

解后反思：本题目涉及构造函数的方法，是个难题；为什么这样的题目比较难？原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题，而本题目需要我们主动构造函数，在数学的应用意识上有相当高的要求；在上例中我们发现，只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造，那么我们自然就会问：

例-姊妹【全国名校联盟2018-2019高三第二次联考第12题】已知定义在实数集(R)上的函数(f(x))满足(f'(x)<2)，(f(1)=1)，(f'(x))是(f(x))的导函数，则不等式(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1)的解集为______。

$A.(0，2)$ $B.(-infty，2)$ $C.(2，+infty)$ $D.(cfrac{1}{2}，2)$

分析：完全仿照上述题目解法完成。

简解：令(g(x)=f(x)-2x+1)，则(g'(x)=f'(x)-2<0)，故函数(g(x))在(R)上单调递减，

又(g(1)=f(1)-2 imes 1+1=0)，故可知(g(x)>0)时的解集为({xmid x<1})，

故先得到(|log_2x|<1)，即(-1<log_2x<1)，即(log_2cfrac{1}{2}<x<log_22)，

解得(cfrac{1}{2}<x<2)，故选(D)。

综合应用

例11【2019届宝鸡中学高三文科第一次月考第22题】设函数(f(x))是增函数，对于任意(x，yin R)都有(f(x+y)=f(x)+f(y))，

（1）求(f(0))；

分析：考查赋值法，令(x=y=0)，得到(f(0+0)=f(0)+f(0))，即(f(0)=0)。

（2）证明函数(f(x))是奇函数；

分析：由题目可知，定义域关于原点对称，

令(y=-x)，代入已知得到(f(x-x)=f(x)+f(-x))，即(f(x)+f(-x)=0)，

即(f(-x)=-f(x))，故函数(f(x))是奇函数；

（3）解不等式(cfrac{1}{2}f(x^2)-f(1-x)<cfrac{1}{2}f(3x))；

分析：先将已知变形为(f(x^2)-2f(1-x)<f(3x))；

再变形为(f(x^2)-f(3x)<2f(1-x))，

（提示：上式变形的最终形式应该是(f(M)<f(N))的形式，为此需要将(-f(3x))变形，需要将(2f(1-x))变形）

由于任意(x，yin R)都有(f(x+y)=f(x)+f(y))，

令(x=y)，得到(f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x))，应用到题目中，有(2f(1-x)=f(2-2x))

又(-f(x)=f(-x))，应用到题目中，有(-f(3x)=f(-3x))，

故(f(x^2)-f(3x)<2f(1-x))可以再次变形，得到

(f(x^2)+f(-3x)<f(2-2x))，即(f(x^2-3x)<f(2-2x))，

由于函数(f(x))是(R)上的增函数，故由单调性有

(x^2-3x<2-2x)，即(x^2-x-2<0)，

解得(-1<x<2)，即解集为(xin (-1，2))。

例12【2019届高三理科教学资料用题】函数(f(x))对任意的(m，nin R)，都有(f(m+n)=f(m)+f(n)-1)，并且(x>0)，恒有(f(x)>1)。

（1）求证：(f(x))在(R)上是增函数；

证明：设(x_1，x_2in R)，且(x_1<x_2)，则(x_2-x_1>0)，

由题目当(x>0)，恒有(f(x)>1)，则(f(x_2-x_1)>1)，

(f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1)

则(f(x_2)-f(x_1)=f(x_2-x_1)-1>0)，

故(f(x_1)<f(x_2))，即(f(x))在(R)上是增函数；

（2）若(f(3)=4)，解不等式(f(a^2+a-5)<2)。^[3]

在求解(2^xgeqslant 3)时需要将常数指数化，变形为(2^xgeqslant 2^{log_23})，从而得到(xgeqslant log_23)；
在求解(log_2xgeqslant 3)时需要将常数对数化，变形为(log_2xgeqslant log_22^3=log_28)，从而得到(xgeqslant 8)；
故在求解(f(a^2+a-5)<2)时，需要将常数(2)先(f)化。

分析：(m，nin R)，都有(f(m+n)=f(m)+f(n)-1)，

令(m=n=1)，则(f(1+1)=f(1)+f(1)-1)，即(f(2)=2f(1)-1)，

又由已知(f(3)=4)，即(4=f(2+1)=f(2)+f(1)-1)，

即(3f(1)-2=4)，即(f(1)=2)，也即(2=f(1))

故(f(a^2+a-5)<2=f(1))，又(f(x))在(R)上是增函数；

则有(a^2+a-5<1)，解得(ain (-3，2))。

例13【2018·珠海月考】已知定义在(R)上的奇函数(y＝f(x))在((0，＋infty))上单调递增，且(f(cfrac{1}{2})=0)，则满足(f(log{frac{1}{9}}x)>0) 的$ x$ 的集合为_________。

分析：由于(y＝f(x))在((0，＋infty))上单调递增，且为奇函数，

则可知函数在((-infty，0))上单调递增，又(f(cfrac{1}{2})=0)，

则可知(f(-cfrac{1}{2})=0)，又由于函数定义在(R)上，则(f(0)=0)，

做出大致示意图如下，

由图像可得，

故有(log{frac{1}{9}}x>cfrac{1}{2})或(-cfrac{1}{2}<log{frac{1}{9}}x<0)

即(log{frac{1}{9}}x>cfrac{1}{2}=log{frac{1}{9}}(cfrac{1}{9})^{{frac{1}{2}}}=log{frac{1}{9}}{cfrac{1}{3}})

或(log{frac{1}{9}}3<log{frac{1}{9}}x<log{frac{1}{9}}1)

解得(0<x<cfrac{1}{3})或(1<x<3)，

故所求集合为({xmid 0<x<cfrac{1}{3}或1<x<3 })。

例14【2019会宁模拟】已知函数(f(x))的定义域为(R)，且在([0,+infty))上单调递增，(g(x)=-f(|x|))，若(g(lgx)>g(1))，则(x)的取值范围为【】

$A.(0,10)$ $B.(10,+infty)$ $C.(cfrac{1}{10},10)$ $D.(0,cfrac{1}{10})cup (10,+infty)$

分析：由于函数(f(x))的定义域为(R)，且在([0,+infty))上单调递增，

故函数(g(x)=-f(|x|))在([0,+infty))上单调递减，且为偶函数，

故(g(lgx)>g(1))即可以变形为(g(|lgx|)>g(1))，则由单调性可知，

(|lgx|<1)，即(-1<lgx<1)，解得(cfrac{1}{10}<x<10)，故选(C)。

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