离散数学 II(最全面的知识点汇总)

离散数学 II(知识点汇总)


目录

代数系统

代数系统定义

一个非空集合A,连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk,所组成的系统就称为一个代数系统,记作<A, f1,f2,…,fk >。

例子

例:<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>都是代数系统,其中+和·分别表示普通加法和乘法。
例:<Mn(R),+,·>是代数系统,其中+和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法。
例:<ρ(S),∪,∩,~ >也是代数系统,其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算 ~。

二元运算定义

S为非空集合,从S×S->S的映射: f: S×S->S称为集合S上的一个二元运算。

运算及其性质

二元运算的性质

封闭性

  • Premise:(*)是定义在集合A上的二元运算, (forall x,yin A)
  • Condition:( x*yin A)
  • Summary:(*)在A上是封闭的

可交换性

  • Premise:(*)是定义在集合A上的二元运算, (forall x,yin A)
  • Condition:(x*y=y*x)
  • Summary:(*)在A上是可交换的

可结合性

  • Premise:(*)是定义在集合A上的二元运算, (forall x,y,zin A)
  • Condition:((x*y)*z=x*(y*z))
  • Summary:(*)在A上是可结合的

可分配性

  • Premise:(*, riangle)是定义在集合A上的二元运算, (forall x,y,zin A)
  • Condition:(x*(y riangle z)=(x*y) riangle (x*z))((y riangle z)*x=(y*x) riangle (z*x))
  • Summary:在A上,(*)对于$ riangle $是可分配的

吸收律

  • Premise:(*, riangle)是定义在集合A上的二元运算, (forall x,yin A)
  • Condition:(x*(x riangle y)=x)(x riangle (x*y)=x)
  • Summary:(*)和$ riangle $在A上满足吸收律

等幂性

  • Premise:设(*)是定义在集合A上的二元运算, (forall xin A)
  • Condition:(x*x=x)
  • Summary:(*)在A上是等幂的

消去律

  • Premise:设(*)是定义在集合A上的二元运算, (forall x,y,z in A)
  • Condition:(左消去律)(x*y=x*zRightarrow y=z)、(右消去律)(y*x=z*xRightarrow y=z)
  • Summary:(*)在A上是满足消去律的

特殊的元素性质

(*)是定义在集合A上的二元运算

幺元

  • 左幺元:对于(e_lin A, forall xin A, e_l*x=x)
  • 右幺元:对于(e_rin A, forall xin A, x*e_r=x)
  • 幺元:对于(ein A)(e)既是左幺元又是右幺元

零元

  • 左零元:对于( heta_lin A, forall xin A, heta_l*x= heta_l)
  • 右零元:对于( heta_rin A, forall xin A, x* heta_r= heta_r)
  • 零元:对于( hetain A)(e)既是左零元又是右零元

逆元

设在代数系统(<A,*>)中,(*)为二元运算,e为A中关于(*)的幺元,(a,bin A)

  • 左逆元(b*a=e),则b为a的左逆元
  • 右逆元(a*b=e),则b为a的右逆元
  • 逆元:b​既是a的左逆元又是右逆元,则b为a的逆元,记为a^-1^
    • 此时有a与b互为逆元
证明逆元且唯一定理
  • Premise:(forall ain A),e为A的逆元,(*)为A的二元运算
  • Condition:a都有左逆元,(*)可结合
  • Summary:a的左逆元为a的逆元且唯一

二元运算表中性质的体现

(*)是定义在集合A上的二元运算

  • 封闭性(Leftrightarrow)运算表中所有元素(in A)
  • 可交换性(Leftrightarrow)运算表中所有元素沿对角线对称
  • 等幂性(Leftrightarrow)运算表中主对角线元素等于本身
  • 零元(Leftrightarrow)该元素运算行列元素与其本身相同
  • 幺元(Leftrightarrow)该元素运算行列元素与其对应的行列元素一致
  • 逆元(Leftrightarrow)两元素行列相交处都是幺元

半群

广群

成立条件

  • (*)运算封闭

半群

定义

  • (*)运算封闭
  • (*)运算可结合

特性

  • A元素有限,则必有等幂元

证:

∵ <S, *>是半群,∴对于(forall)b (in)S,由运算*封闭可知:
b^2^=b*b(in)S,b^2^ *b=b*b^2^=b^3^(in)S ,b^4^,b^5^… (in)S
∵ S有限,∴必定(exists)i,j,j>i,有b^i^=b^j^(第一轮)
∴ b^i^ =b^j^ =b^j-i^ * b^i^
令p=j-i ,则有 b^i^ =b^p^ * b^i^
∴ 对任意q≥i, 有b^q^= b^p^ *b^q^ (第二轮)
又∵p≥1 ∴$exists $k,有kp≥i,则有b^kp^=b^p^ *b^kp^ (第三轮)
由b^kp^=b^p^ *b^kp^得: b^kp^=b^p^ *b^kp^=b^p^ *(b^p^ *b^kp^)=…=b^kp^ *b^kp^
∴令a=b^kp^ (in)S 则a*a=a,∴b^kp^是等幂元。

子半群

  • (Bsubseteq A)
  • (*)在B上运算封闭

独异点

成立条件

  • 为半群
  • 含幺元

特性

  • 运算表任意两行两列都不相同

证:

设独异点中幺元为e,对于任意 a,bS且a≠b,总有
(1)∵a*e=a ≠ b=b*e
由a,b任意性, 有<S, *>运算表中任两行不同;
(2)∵e*a = a ≠ b = e*b
由a,b任意性,有<S, *>运算表中任两列不同。

  • 若a,b均有逆元,则
    • ((a^{-1})^{-1}=a)
    • (a*b)有逆元,且((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1})

证:

a) ∵a^-1^是a的逆元

​ ∴a^-1^既是a的左逆元又是a的右逆元

​ 即:a^-1^ *a=a *a^-1^=e

​ ∴a既是a^-1^的右逆元又是a^-1^的左逆元,

​ ∴ a是a^-1^的逆元 即(a^-1^)^-1^=a

b) 要证(a *b)^-1^=b^-1^ *a^-1^,即证b^-1^ *a^-1^为a*b的逆元。

∵(a*b) *(b^-1^ *a^-1^)=a* (b*b^-1^) *a^-1^=a*e*a^-1^=e

∴b^-1^ *a^-1^是a*b的右逆元,

又∵(b^-1^ *a^-1^)*(a *b)=b^-1^ *(a^-1^ *a)*b=e

∴b^-1^ *a^-1^是a*b的左逆元,

∴(a*b)^-1^=b^-1^ *a^-1^

证明是半群或独异点

按定义证明

群和子群

定义

  • 运算封闭
  • 可结合
  • 存在幺元e
  • 对于每一个元素(xin G),存在逆元$x^{-1}

阶数、有限群、无限群

如果(<G,*>)为群且元素有限,则称为有限群,元素个数称为群的阶数,否则称为无限群

1阶、2阶、3阶、4阶群

1~4阶都有循环群,可以用mod运算推

4阶还有克莱因四元群,如下

* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

特性

  • 阶大于1的群中不可能有零元

证:

(1)当群的阶为1时,它的唯一元素视作幺元e;

(2)设|G|>1且群<G, *>中有零元q,那么群中

​ ∀x∈G,*都有q*x=x*q=q ≠ e

所以零元q不存在逆元,这与<G, *>是群矛盾。

  • $forall a,bin G, exists (唯一的)x, a*x=b$

证:

(1)存在性
设群<G, *>的单位元为e,令x=a^-1^ *b, 则
a*x=a*(a^-1^ *b)=(a*a^-1^) *b=e*b=b
所以x=a^-1^ *b是方程a*x=b的解。
(2)唯一性
若还有x′∈G, 使得a*x′=b, 则
x′=e*x′
=(a^-1^ *a)*x′=a^-1^ *(a*x′)=a^-1^ *b=x
故x=a^-1^ *b是方程a*x=b的唯一解。

  • 满足消去律

证:

a*b=a*c

$Rightarrow $ a^-1^ *(a*b)=a^-1^ *(a*c)

$Rightarrow $ (a^-1^ *a) *b=(a^-1^ *a)*c

$Rightarrow $ e*b=e*c

$Rightarrow $ b=c

幂特性
  • 除了幺元外,不存在其他等幂元
  • 关于逆元,群中任一元素逆元唯一,且有:
    • ((a^{-1})^{-1}=a)
    • ((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1})
    • ((a^{n})^{-1}=(a^{-1})^n=a^{-n})

证:

已学定理5-2.4:设代数系统<A, *> , A中存在幺元e,且$forall $x∈A,都存在左逆元,若*是可结合的运算,那么<A, *> 中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元,且每个元素的逆元唯一。

证明:

∵群满足结合律,且群中每个元素都有逆元,

∴每个元素都有左逆元,

∴每个元素的逆元唯一。

运算表特性
  • 每一行与每一列都是G元素的一个置换,没有相同元素
  • 运算表中任意两行或者两列都不相同

运算

AB={ab|a∈A,b∈B}
A^-1^={a^-1^|a∈A}
gA={ga|a∈A}

子群

记为H(leq)G,真子群记为H<G

定义
  • 为一个群的非空子集
  • 也为群
判定条件
  1. 非空(Ssubseteq G),且S也是群
  2. 非空(Ssubseteq G),G为有限群,S中运算封闭
  3. 非空(Ssubseteq G),有(a*b^{-1}in S)
性质

若<H, *>和<K, *>为<G, *>子群,则

  • <H(cap)K, *>也是子群
  • <H(cup)K, *>是子群 当且仅当 H(subseteq)K或K(subseteq)H
  • HK是子群 当且仅当 HK=KH
平凡子群

(S={e}quad ORquad S=G)

中心

对于(C={y|y*a=a*y,yin G}),则<C, *>为子群,称为G的中心

共轭子群

若H为G子群,则xHx^-1^={x*h*x^-1^|h ∈H}也是G的子群,称xHx^-1^是H的共轭子群

阿贝尔群和循环群

阿贝尔群 / 交换群

定义

  • 是群
  • (*)可交换

判定

  • 是群,且(forall a,bin G, (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b))

证:

充分性 即证a*b=b*a。
∵ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 且<G,*>是群,*可结合
∴ a*(b*a)*b=a*(a*b)*b
∴ a^-1^ *(a*(a*b)*b)*b^-1^=a^-1^ *(a*(b*a)*b)*b^-1^
即有:a*b=b*a, ∴ <G,*>是阿贝尔群。
必要性 ∵ <G,*>是阿贝尔群,
∴对∀a,b∈G,有:a*b=b*a
∴ (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)

循环群

定义

(exists ain G, forall bin G),b都能表示成a的幂,a称为生成元

特性

  • 是阿贝尔群
  • 如果是有限群,阶数为n,则
    • 幺元为a^n^
    • (psi(n))个生成元,(欧拉函数,表示小于n且与n互质的正整数个数)
    • G的其他生成元即(a^k),k与n互质
  • 若阶数无限,则只有两个生成元e和e^-1^

元素的阶

定义

最小正整数k使某一元素(a^k=e),则k为a的阶(周期)

性质
  • a^k^=e (iff) r | k

    (k是r的整数倍,即存在整数m,使得k=rm )

证:

充分性:r | k (Rightarrow) a^k^=e

设 r | k,则存在整数m,使得k=rm,

​ a^k^= a^rm^=(a^r^)^m^=e^m^=e

必要性:a^k^=e (Rightarrow) r | k

若a^k^=e,由带余除法,一定存在整数p,q,使得

k=pr+q(0≤q<r),于是a^k^=a^pr+q^=a^pr^ *a^q^=(a^r^)^p^ *a^q^ =(e)^p^ *a^q^ =e*a^q^ =a^q^ =e (a^k^=e)

∵ r是a的阶,即使得a^r^=e的最小正整数

∴只有q=0才可能有a^q^ =e, ∴ k=pr 即r | k。

  • O(a)= O(a^-1^)(元素与其逆元的阶相同)

证:

O(a)= O(a^-1^)(元素与其逆元的阶相同)

证:∀a∈G,a的阶为r, a^-1^的阶为r’,

则 (a^-1^)^r’^=e ,a^r^=e

∵ (a^r^)^-1^ *a^r^=e 且a^r^=e,
∴ (a^r^)^-1^=e( (a^r^)^-1^与e做运算=e,则(a^r^)^-1^必=e)
由红色部分可得(a^r^)^-1^=(a^-1^)^r’^=e-----①
∵ <G,*>是群,即(a^n^)^-1^=(a^-1^)^n^成立,则
(a^r^)^-1^=(a^-1^)^r^ 成立-----②
由①②可得,(a^-1^)^r^ =(a^-1^)^r’^=e
∵ 已知r’是a^-1^的阶,即r’是使得(a^-1^)^k^ =e的最小正整数,
∴ r=mr’(m为正整数),即r’|r。 (定理中的(1)刚证明过)
同理可证r|r’。
(a^-1^)^r’^= (a^r’^)^-1^=e
∵ (a^r’^)^-1^ * a^r’^=e
∴ a^r’^=e
∵ 已知r是a的阶,即r是使得(a)^r^ =e的最小正整数,
∴ r’=mr (m为正整数),即r|r’ .由r’|r与 r|r’即可证得r=r’。

  • r ≤ |G|(元素的阶一定小于等于群的阶)

证:

一个元素a, a的阶是r,且r>|G|,则由a可生成一个集合S={a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^},因为运算*封闭,所以S⊆G, 则S的元素个数小于|G|.
然后证明a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^各不相同。
若不然,假设S中存在两个元素相同:
a^i^=a^j^,其中1≤i<j≤r,就有e=a^j-i^ (1≤ j-i<r,a^i^=a^j^右侧同*a-i),而已知r是使得a^r^=e的最小整数。
a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^都各不相同,即集合S的元素个数大于|G|,与S⊆G矛盾。综上,r≤|G|

子群性质

  • 循环群的子群也是循环群
  • 循环群是无限阶的,则其子群除了{e}也是无限阶的
  • 循环群是n阶的,对于每个n的因子,有且只有一个循环子群

置换群和伯恩赛德定理

置换

成立条件

  • 对于非空集合S,(S ightarrow S)的双射称为S的置换

运算

先运用(pi_2),再运用(pi_1)

  • 左复合 $circ (:)pi_1circpi_2$
  • 右复合 $diamond (:)pi_2diamondpi_1$

置换群

定义

  • 具有n个元素的集合S中所有的置换组成的群(<S_n,circ>),其中元素个数有 n! 个
  • 任意(<S_n,circ>)的子群都是S上的置换群

对称群

(S_n)称为S的对称群

交错群

(S_n)中所有偶置换组成的群,记为(A_n)(|A_n|=n!/2)

轮换

定义

设s是S={1,2,…,n}上的n元置换,且:

[s(i_1)=i_2, s(i_2)=i_3, …, s(i_k-1)=i_k, s(i_k)=i_1 ]

(forall xin S, x e i_j (j=1,2,…,k)),有 s(x)=x(即s 不改变其余元素),称s是S上的一个k轮换, 当k=2, s也称为对换

记法

((i_1,i_2,...,i_k))

对换
定义

k=2时

性质
  • 任意轮换可以写成对换的乘积。即

    (a1 a2…ar)=(a1 ar)(a1 ar-1)…(a1 a3)(a1 a2)

诱导的二元关系

定义

(<G,circ>)为S的一个置换群,则其诱导的二元关系有

[R={<a,b>|pi(a)=b, piin G} ]

性质
  • 是一个等价关系(条件:自反性、对称性、传递性)

三元素集的置换群

对称群

S~3~={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }

交错群

A~3~={ (1), (1 2 3), (1 3 2) }

伯恩赛德定理

(pi)是划分S的置换群的一个置换,(phi(pi))指置换中不变元个数

[等价类数目=frac{1}{|G|}sum_{piin G}phi(pi) ]

陪集和拉格朗日定理

陪集

定义

设H是G的子群,(ain G),则

  • aH={a*h|h∈H} H关于a的左陪集
  • Ha={h*a|h∈H} H关于a的右陪集

a称为陪集的代表元素

性质

元素(Rightarrow)陪集

  • 陪集元素个数相等,(forall ain G),|aH|=|H|

  • a∈H$iff $aH=H,Ha=H

  • a∈aH

  • b∈aH $iff $ bH=aH

陪集与陪集

  • aH和bH关系只有两种
    • aH∩bH=(varnothing)(Ha∩Hb=(varnothing)
    • aH=bH(Ha=Hb)

陪集(Rightarrow)元素,a/b属于同一陪集

  • aRb (iff) a^-1^ *b∈H (iff) b∈aH (iff) aH=bH

所有左陪集的集合∑刚好是G的一个划分

特殊关系

划分

  • 每个元素非空。不存在空块
  • 所有元素并集为G
  • 任两个元素交集为空

等价关系

关系R满足自反、对称、传递

  • 若<x,y>(in)R,称x等价于y,记作x~y

等价类

有等价关系的元素组成的一个集合,记为[a]~R~

  • a称为[a]~R~的代表元素

商集 A/R

以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集

子群的指数

G对H的陪集的集合的基数,即陪集的数目,记为[G:H ]

拉格朗日定理

H为G的子群,则:

  • R={<a,b>|a∈G,b∈G且a^-1^ *b∈H}是G上的一个等价关系。对于a∈G,若记[a]~R~={x|x∈G且<a,x>∈R},则[a]~R~=aH
  • 如果G是有限群,|G|=n,|H|=m,则m|n。

推论

  • 素数阶群的子群一定是平凡群。(素数阶的群不存在非平凡子群)
  • 设<G,*>是n阶群,则对任意a∈G,有a^n^=e
  • 有限群中,元素的阶能整除群的阶
  • 素数阶群一定是循环群,且每个非幺元均为生成元

正规子群和商群

正规子群 / 不变子群

定义

H(leq)G,(forall gin G),gH=Hg,记为H(unlhd)G

判别

(forall ain G)

  • aH=Ha,(即H(unlhd)G)
  • (forall hin H),aha^-1^(in)H
  • aHa^-1^(subseteq)H
  • aHa^-1^=H

如果G是交换群,则G的任何子群都是正规子群

[G:H]=2 , 则H是G的正规子群

单群

G除了平凡子群外无其他正规子群

性质

  • 正规子群与子群的乘积是子群
  • 正规子群与正规子群的乘积是正规子群
  • 传递性

商群

运算

在G/H上定义陪集乘法运算∙,对于任意aH,bH∈G/H, 有

[aH·bH=(ab)H ]

定义

设G为群,H为正规子群,则G/H关于运算∙构成一个群,称为G的商群

性质

  • 商群G/H的单位元是eH(=H)
  • 在G/H中aH的逆元是a^-1^H

推论

  • 若G是交换群,G/H也是交换群
  • 商群的阶是G阶数的因子

同态与同构

同态映射 / 同态 ~

定义

<A,(star)>与<B,*>满足(f(a_1star a_2)=f(a_1)*f(a_2))

称 f 为同态映射 / 同态,<A,(star)>同态于<B,*>

记为 A~B

同态象

<f(A), *>为<A,(star)>的一个同态象

自然同态

群G到商群G/H的同态,为 a( ightarrow)aH

分类

  • f:A( ightarrow)B 为满射,f 称为满同态
  • f:A( ightarrow)B 为入射,f 称为单一同态
  • f:A( ightarrow)B 为双射,f 称为同构映射
同构

f 为同构映射时,称<A,(star)>与<B,*>同构,记为A(cong)B

  • 同构关系是等价关系
凯莱定理

任何一个有限群同构于一个置换群。

置换群即运算表中所有行 OR 所有列

自同态 / 自同构

自身到自身的映射

同态映射性质

在 f 作用下

  • <A, $star $>的所有性质在同态象上保留
  • 若同构,则<B, *>拥有<A, $star $>的所有性质

同态核

定义

A中元素映射 f 后为幺元。记为 Ker(f),称为 f 的同态核

Ker(f) = {x|x∈G且f(x)=e’}

性质

  • 同态核N为A的正规子群
  • f 为单同态 (iff) Ker(f)={e}
  • 若Ker(f)=N ,则 f(a)=f(b) (iff) aN=bN

同态基本定理

  • 若 f 为A到B的满同态,Ker(f)=N,则A/N(cong)B
  • 若h为A自然同态,存在A/N到B的同构g,有f=gh

第一同构定理 / 商群同构定理

  • 若 f 为A到B的满同态,Ker(f)=N,H(unlhd)A 且 N(subseteq)H
    • 则 A/H (cong) B/f(H)
  • 若 H(unlhd)A 且 K(unlhd)A 且 K(subseteq)H
    • 则 A/H (cong) (A/K) / (H/K)

环与域

定义

对于<A, +, ·>有两种二元运算的代数系统

  • <A, +>是阿贝尔群

  • <A, ·>是半群

  • 运算 · 对于 + 是可分配的,即(forall a,b,cin A)

    a·(b+c)=(a·b)+(a·c)

    (b+c)·a=(b·a)+(c·a)

为了区别环中的两个运算,通常称+运算为环中的加法,·运算为环中的乘法。

零元

加法单位元,记为0(( heta))

单位元

乘法单位元,记为1

负元

加法逆元,记为-x

逆元

乘法逆元,记为x^-1^

例子

  • <R,+,·> 实数环
  • <Q,+,·> 有理数环
  • <I,+,·> 整数环
  • <M~n~(I),+, ·> n阶整数矩阵环
  • <N~k~ , +~k~ , ×~k~> 模k整数环
  • <Z[i], +, ·>(Z[i]=a+bi,a,b(in)Z,i^2^=-1) 高斯整数环 (复数)
  • <R[x] ,+, ·> R[x]为实数多项式

性质

与理解的加法乘法相同,消去律不一定

  • ( heta)=( heta)·a=( heta)
  • a·(–b)=(–a)·b = –(a·b)
  • (–a)·(–b)=a·b
  • a·(b–c)=(a·b)–(a·c)
  • (b–c)·a=(b·a)– (c·a)

特殊环

交换环

<A, · >可交换

含幺环

<A, · >含幺元

无零因子环

等价于乘法消去律)

(forall a,bin A, a eq heta, b eq heta),则必有(a·b eq heta)

零因子

(a,bin A, a eq heta, b eq heta),有(a·b= heta),则a或b为零因子

整环

定义

(基于乘法运算的性质)

交换、无零因子 OR 含幺、无零因子

即同时满足交换环、含幺环和无零因子环的条件

子环

定义

环的子集,也是环

判定定理

(forall a,bin S,a-bin S,a·bin S)

定义

满足如下:

  • <A, +>是阿贝尔群
  • <A - {( heta)}, ·>是阿贝尔群
  • 运算 · 对运算+是可分配的

例子

  • 实数域
  • 有理数域
  • 〈Z~n~,+~n~, · ~n~ 〉是域的充要条件是n是素数

域与整环的关系

  • 域一定是整环
  • 有限整环一定是域

环的同态定义

V~1~=<A,*,∘>和V~2~=<B,⊛,◎>是两环,其中*、∘、⊛和◎都是二元运算。f 是从AB的一个映射,使得对(forall)a, b(in)A有:

f(a*b)=f(a)⊛f(b)

f(ab)=f(a)◎f(b)

则称f是环V1到环V2的同态映射

分类

如果f单射、满射和双射,分别称f单同态、满同态和同构

同态像及其特性

<f(A),⊛,◎>是<A,*,∘>的同态像

  • 任何环的同态像是环
综合例题

设<R,+, · >是环,其乘法单位元记为1,加法单位元记为0,对于任意a,b(in)R,定义

a⊕b=a+b+1,a⊙b=a·b+a+b。求证: <R, ⊕, ⊙ >也是含幺环,并与<R,+, · >同构。

证明:

首先证明<R, ⊕, ⊙ >是环。

(1) <R, ⊕ >是阿贝尔群。

(2) <R, ⊙ >是含幺半群。

(3) ⊙对⊕可分配,再证明同构。

(4)构造双射f: f(a)=a-1,验证同构性。

(1) <R, ⊕ >是阿贝尔群。

显然R关于⊕是封闭的且⊕运算是可交换的。

结合性:对于任意的x,y,z(in)R,有

(x⊕y)⊕z=(x+y+1)⊕z=x+y+z+2,而

x⊕(y⊕z )= x⊕ (y+z+1)=x+y+z+2, 即⊕运算满足结合律。

幺元:对于任意x(in)R, x⊕-1= x+(-1)+1=x,-1是R关于⊕运算的幺元。

逆元:对于任意x(in)R, x⊕(-x-2)= x+(-x-2)+1=-1, +(-x-2)是x关于⊕运算的逆元。

所以<R, ⊕ >是阿贝尔群。

(2) <R, ⊙ >是含幺半群。

显然R关于⊙是封闭的、可交换的。

结合性:对于任意的x,y,z ÎR,有

(x ⊙ y) ⊙ z=(xy+x+y) ⊙ z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z,而

x ⊙(y ⊙ z )= x ⊙ (yz+y+z)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z, 即⊙运算满足结合律。

幺元:对于任意xÎR, x ⊙ 0=0+ x+0=x,0是R关于⊙运算的幺元。

所以<R, ⊙ >是含幺半群.

(3) ⊙对⊕可分配

对于任意的x,y,z(in)R,有

x⊙(y⊕z )= x⊙(y+z+1)=xy+xz+x+x+y+z+1=xy+xz+2x+y+z+1

(x⊙y)⊕(x⊙z)=(xy+x+y)⊕(xz+x+z)=xy+xz+2x+y+z+1

同理可以证明右可分配性。

综上所述, <R, ⊕, ⊙ >也是含幺环

再证明同构。

构造双射f: f(a)=a-1,验证同构性。

(4)证明同构。构造函数f: f(x)=x-1

双射:对于任意x(in)R,则有x+1(in)R,使得f(x+1)=x,所以f是满射

x,y(in)R,若f(x)=f(y),则有x-1=y-1,即x=y,所以f是单射。

同态: f(x+y)=x+y-1

f(x)⊕f(y)=(x-1)⊕(y-1)=x-1+y-1+1=x+y-1

所以f(x+y)= f(x)⊕f(y)

又因为 f(x·y)=x·y-1

f(x)⊙f(y)=(x-1) ⊙(y-1)=(x-1)· (y-1)+x-1+y-1

​ =x·y-x-y+1+x-1+y-1=x·y-1

所以f(x·y)= f(x)⊙f(y)

​ 综上,<R, ⊕, ⊙ >与<R,+, ∘ >同构。

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