agda学习笔记命题和证明

Agda的类型系统⾜以将任意命题表示⼀个类型，⽽其类型中的元素是该命题的证明。

“类型即证明”

逻辑与计算之间最深刻的联系是一种双关。

「命题即类型（Propositions as Types）」 的学说断言，形式化的结构可以按两种方式看待：可以看做逻辑中的命题， 也可以看做计算中的类型。

此外，相关的结构可以看做命题的证明或者其相应类型的程序。

更进一步来说，证明的化简与程序的求值对应。

简单的命题：

data False : Set where
record True : Set where

trivial : True
trivial = _

假命题 False 没有构造函数

真明题 True 是 record 构造的， 并且有个函数 trivial

（这里还是不太理解）

isTrue : Bool -> Set
isTrue true = True
isTrue false = False

isTrue b 就是命题 b is true

lookup : {A : Set}(xs : List A)(n : Nat) -> isTrue (n < length xs) -> A
lookup [] n ()
lookup (x :: xs) zero p = x
lookup (x :: xs) (suc n) p = lookup xs n p

这是safelookup

当命题 p 假的时候，由于 False 没有构造函数，所以用荒谬模式匹配

with构造

min : Nat -> Nat -> Nat
min x y with x < y
... | true = x
... | false = y

... 代表 min x y

有点像 guard equation