P1368 均分纸牌（加强版）
题目描述
有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取1张纸牌，然后移动。
移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，能移到编号为 2和N 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，能移到编号为 N-1和1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。
现在要求找出一种移动方法，使每堆上纸牌数都一样多且牌的移动次数尽量少。
输入输出格式
输入格式：第一行一个整数n
第二行为n个空格分开的正整数，为n堆纸牌的牌数。
输出格式：只有一个数，为最少的移动次数。
输入输出样例
4 1 2 5 4
4
说明
对样例的说明：
①第4堆移动1张牌至第1堆
②第3堆移动1张牌至第2堆
③第3堆移动1张牌至第2堆
④第2堆移动1张牌至第1堆
此时移动次数为4最小
【数据范围】
对于40%的数据，n<=10000
对于100%的数据，n<=1000000，所有纸牌数总和在2147483647内
设平均数为xba
不妨设a1给了an x1 张纸牌（k可正可负），a2给了a1 x2张纸牌， a3给了a2 x3 张纸牌……an给了a(n - 1) xn张纸牌，不难发现以下方程：
xba = a1 - x1 + x2
xba = a2 - x2 + x3
xba = a3 - x3 + x4
xba = a4 - x4 + x5
......
xba = a(n - 1) - x(n - 1) + xn
xba = an - xn + x1
把他们全部相加，不难发现
nxba = a1 + a2 + a3 + .... + an
得到0 = 0
毫无用处。
我们考虑最终结果，应该是
|x1| + |x2| + |x3| + .... + |xn|
换元法，得到
ans = |x1| + |xba - a1 + x1| + |2xba -a1 - a2 + x1| + |3xba -a1 - a2 - a3 + x1| + ..... + |(n - 1)xba - Σai,i <= n - 1|转换为一次函数带绝对值的最值问题
数形结合思想，看做是数轴上点的距离。这些点是k * xba - Σai,i <= k
k应为k * xba - Σai,i <= k中的中位数
对于任意数x， x的左边就有m1个点，右边也有m2个点
x向左移动n个单位长度时，它与其他各点距离和变化为：-m1 * n + m2 * n = n(m2 - m1)
x向右移动n个单位长度时，它与其他各点距离和变化为：m1 * n - m2 * n = n(m2 - m1)
当m1 = m2时，距离和变化为0
我们看x在中位数左边一点及其以左时(m2 - m1 > 0)，移动到x在中位数位置的偏移值大于零
x在中位数右边一点及其以右时(m1 - m2 > 0)，移动到于x在中位数位置的偏移值大于零
因此中位数时距离和最小。
证毕
1 #include <bits/stdc++.h> 2 inline void read(long long &x){x = 0;char ch = getchar();char c = ch;while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar();while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();if(c == '-')x = -x;} 3 const int INF = 0x3f3f3f3f; 4 const int MAXN = 1000000 + 10; 5 6 long long n,num[MAXN],sum,f[MAXN],xba; 7 long long k,ans; 8 9 int main() 10 { 11 read(n); 12 for(register long long i = 1;i <= n;++ i) 13 { 14 read(num[i]); 15 sum += num[i]; 16 } 17 xba = sum / n; 18 f[1] = 0; 19 for(register long long i = 2;i <= n;++ i) 20 { 21 f[i] = f[i - 1] + xba - num[i - 1]; 22 } 23 std::sort(f + 1, f + 1 + n); 24 k = f[n/2 + 1]; 25 for(long long i = 1;i <= n;i ++) 26 { 27 ans += abs(k - f[i]); 28 } 29 printf("%lld", ans); 30 return 0; 31 }