Atcoder Grand Contest 001 F

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咦?鸽子 tzc 来补题解了?奇迹奇迹(

首先考虑什么样的排列可以得到。我们考虑 (p) 的逆排列 (q),那么每次操作的过程从逆排列的角度思考,就可视作每次在逆排列中交换两个相邻,且元素值之差 (ge k) 的元素。注意到对于两个元素 (x,y),如果 (|x-y|<k),那么我们肯定永远无法交换它们,它们的相对位置顺序也永远无法改变,因为要改变它们的相对顺序必须交换它们。而一对 (|q_i-q_j|<k,i<j)((i,j)) 恰好对应一对 (p_i<p_j,|i-j|<k)((i,j))。因此对于相距 (<k) 的位置,它们的相对大小顺序不能发生变化。而我们能够证明,如果两个排列 (p,p'),满足它们相距 (<k) 的位置上的元素相对位置大小不变,那么它们之间就能够互相转化,证明我也不太会,一个感性地想法是,我们记排列 (q) 满足 (pcirc q=p'),那么我们每次总能交换两个数,使得 (q) 逆序对大小减一,因此它们能够互相转化。

我们考虑对于 (|i-j|<k),如果 (p_i<p_j) 则连一条 (i o j) 的边,否则连一条 (j o i) 的边,那么不考虑复杂度的问题,我们的目标就是给每个点赋上一个标号 (r_i),使得对于所有有向边 (u o v),都有 (r_u<r_v),并且 (r) 的字典序尽可能小。这是一个经典问题,考虑这样的过程,我们建反图然后拓扑排序,每次取出编号最大的点然后在上面填 (n,n-1,cdots) 以此类推,类似的题有这个(它是道 Ag 的题但代码异常短)。但是暴力建图复杂度是 (nk) 的,无法通过。不过注意到此题建图方式很特殊,(n^2) 建边+特殊建图方式 (=nlog n)(暴论),注意到一个点 (x) 度为 (0),当且仅当 (p_x)([x-k+1,x+k-1]) 的最大值,因此我们考虑用线段树维护这个过程,先一遍扫过去将所有度为 (0) 的点压入优先队列,然后每次取出一个点 (x) 时,就将 (p_x) 改为 (-infty),然后松弛与其相连的点即可。不难发现每次松弛只有 ([x-k+1,x-1]) 中最大值的位置和 ([x+1,x+k-1]) 最大值的位置是有用的,只用松弛这两个点即可。

时间复杂度 (nlog n)

const int MAXN=5e5;
int n,m,p[MAXN+5],res[MAXN+5];
struct node{int l,r;pii mx;} s[MAXN*4+5];
void pushup(int k){s[k].mx=max(s[k<<1].mx,s[k<<1|1].mx);}
void build(int k,int l,int r){
	s[k].l=l;s[k].r=r;if(l==r) return s[k].mx=mp(p[l],l),void();
	int mid=l+r>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
	pushup(k); 
}
void modify(int k,int p,pii v){
	if(s[k].l==s[k].r) return s[k].mx=v,void();
	int mid=s[k].l+s[k].r>>1;
	(p<=mid)?modify(k<<1,p,v):modify(k<<1|1,p,v);
	pushup(k);
}
pii query(int k,int l,int r){
	if(l<=s[k].l&&s[k].r<=r) return s[k].mx;
	int mid=s[k].l+s[k].r>>1;
	if(r<=mid) return query(k<<1,l,r);
	else if(l>mid) return query(k<<1|1,l,r);
	else return max(query(k<<1,l,mid),query(k<<1|1,mid+1,r));
}
priority_queue<int> q;
bool inq[MAXN+5];
void check(int x){
	if(!x||inq[x]) return;
	if(x==query(1,max(x-m,1),min(x+m,n)).se)
		q.push(x),inq[x]=1;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);--m;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);
	build(1,1,n);int c=n;
	for(int i=1;i<=n;i++) check(i);
	while(!q.empty()){
		int x=q.top();q.pop();res[x]=c--;
//		printf("%d
",x);
		modify(1,x,mp(-INF,0));
		check(query(1,max(x-m,1),x).se);
		check(query(1,x,min(x+m,n)).se);
	} for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d
",res[i]);
	return 0;
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/ET2006/p/agc001F.html